[논문 리뷰] Nonnegative Polynomials and Sums of Squares

Grigoriy Blekherman|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 18.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비음수 동차 다항식이 제일 작은 케이스인 삼변수 6차 다항식 (3,6)과 사변수 4차 다항식 (4,4)에서 항상 제곱합이 아니게 되는 기본 기하학적 및 대수적 이유를 규명한다. 이를 통해 케일리-바하라흐 관계—다항식 간의 선형 종속성—가 비음수 다항식의 쌍과 제곱합의 쌍을 분리하는 모든 선형 부등식을 생성하며, 곡선의 교점과 명시적인 선형 함수형을 통해 이러한 차이를 완전히 특성화함을 보여준다.

ABSTRACT

In the smallest cases where there exist nonnegative polynomials that are not sums of squares we present a complete explanation of this distinction. The fundamental reason that the cone of sums of squares is strictly contained in the cone of nonnegative polynomials is that polynomials of degree $d$ satisfy certain linear relations, known as the Cayley-Bacharach relations, which are not satisfied by polynomials of full degree 2d. For any nonnegative polynomial that is not a sum of squares we can write down a linear inequality coming from a Cayley-Bacharach relation that certifies this fact. We also characterize strictly positive sums of squares that lie on the boundary of the cone of sums of squares and extreme rays of the cone dual to the cone of sums of squares

연구 동기 및 목표

• 비음수 다항식이 언제나 제곱합이 아니게 되는 가장 작은 케이스인 (3,6)과 (4,4)에서 이러한 차이가 발생하는 이유를 설명하는 것.
• 이러한 케이스에서 비음수 형식의 쌍과 제곱합의 쌍을 분리하는 모든 선형 부등식의 완전한 집합을 규명하는 것.
• 이러한 분리 부등식이 곡선의 교점에 대한 케일리-바하라흐 관계에서 유일하게 유래됨을 보여주는 것.
• 실수 및 복소수 교점의 형태를 포함한 곡선의 교점들을 이용하여 제곱합의 쌍의 쌍대 쌍의 극단선을 특성화하는 것.

제안 방법

• 일반적인 다항식 대신 형식을 다루기 위해 동차화를 사용하여 (3,6) 및 (4,4) 케이스에 집중한다.
• 차수 d의 다항식 간의 선형 종속성인 케일리-바하라흐 관계—전체 차수 2d의 다항식에서는 성립하지 않는 관계—를 적용하여 분리 선형 부등식을 도출한다.
• 곡선의 교점 γi( (3,6)의 경우 삼차곡선, (4,4)의 경우 이차곡선)에서의 평가를 바탕으로 선형 함수형 ℓ(f) = ∑μif(zi)를 구성하며, 복소수 쌍도 허용한다.
• 형식 Hn,d를 실수 및 복소수 쌍의 점에 대한 값으로 매핑하는 실수 평가 사상 Eℝ: Hn,d → ℝ^s를 정의하고, 그 이미지를 초평면 L로 식별한다.
• 이 평가로부터 유도되는 Hn,d 상의 정반정형 이차형식 Qℓ을 분석하여, 이것이 Σ∗n,2d의 극단선임을 보여준다.
• 이차형식에서 제곱을 완성하여 문제를 실수 초평면으로 단순화하고, 극단선이 점 평가이거나 핵에 유일한 사영 영점이 존재하는 형식인 경우에 해당함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음수 다항식이 (3,6) 및 (4,4) 케이스에서 항상 제곱합이 아니게 되는 기본 대수적 및 기하적 이유는 무엇인가?
• RQ2 비음수 형식의 쌍과 제곱합의 쌍을 분리하는 모든 선형 부등식이 이 케이스에서 케일리-바하라흐 관계에서 기인하는가?
• RQ3 극단선을 곡선의 교점(복소수 쌍 포함)을 이용해 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ4 극단선의 존재에 복소수 교점이 반드시 필요한가, 아니면 모든 극단선이 완전히 실수 교점으로서 실현될 수 있는가?

주요 결과

• (3,6) 케이스에서, 비음수 형식이 제곱합이 아닌 경우는 두 실수 삼차곡선의 9개 교점(최대 2개의 복소수 점 포함)에 기반한 선형 함수형 ℓ(f) = ∑μif(zi)로 증명될 수 있다.
• (4,4) 케이스에서, 이러한 증명은 세 개의 실수 이차곡선의 8개 교점(최대 2개의 복소수 점 포함)에 기반한다.
• 이러한 케이스에서 Pn,2d와 Σn,2d를 분리하는 모든 선형 부등식은 케일리-바하라흐 관계에 의해 생성되며, 이는 전체 차수 2d 다항식에서는 존재하지 않는다.
• 점 평가가 아닌 극단선 Qℓ은 핵에 유일한 사영 영점이 존재하는 이차형식 Qℓ로, 복소수 쌍의 교점에서 기인한다.
• 점 평가에 대응하지 않는 극단선 Qℓ의 핵은, 그 안에 포함된 n−1개의 형식의 임의의 횡단 교점이 최대 하나의 복소수 쌍의 영점만을 포함함을 가진다.
• 이 논문은 이러한 극단선이 항상 완전히 실수 교점으로서 실현될 수 있으며, 복소수 쌍이 특성화에 필수적이지 않다는 추측을 제기한다.