[논문 리뷰] Note on higher-point correlation functions of the $T\bar{T}$ or $J\bar{T}$ deformed CFTs

Song He|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 11.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 73인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 페르투르바티브 CFT 방법을 사용하여 $T\bar{T}$ 및 $J\bar{T}$ 변형 2차원 등각장론(CFT)에서 일반적인 n점 상관함수의 1차 보정을 계산한다. 경로 적분 및 워드 항등식을 통해 이 보정의 해석적 표현을 유도하며, 이sov 이중 상관함수(OTOC)가 1차에서 변화하지 않음을 보여, 두 변형이 적분 가능성을 유지함을 확인한다.

ABSTRACT

We investigate generic n-point correlation functions of conformal field theories (CFTs), with $T\bar{T}$ and $J\bar{T}$ deformations, in terms of the perturbative CFT approach. We systematically obtain the first order correction to the generic correlation functions of CFTs with $T\bar{T}$ or $J\bar{T}$ deformation. We compute the out-of-time ordered correlation function (OTOC) in the Ising model with $T\bar{T}$ or $J\bar{T}$ deformation, which confirms that these deformations do not change the integrable property up to the first order level.

연구 동기 및 목표

• 모든 $T\bar{T}$ 및 $J\bar{T}$ 변형 CFT에서 일반적인 n점 상관함수의 1차 보정을 체계적으로 계산하기 위해.
• $T\bar{T}$ 및 $J\bar{T}$ 변형이 기저 CFT의 적분 가능성에 영향을 미치는지, 이는 외부 순서 상관함수(OTOC)를 분석하여 확인하기 위해.
• 이전에 두점 및 세점 함수에 사용된 페르투르바티브 방법을 헬름홀로픽 및 앤티헬름홀로픽 크로스 비율을 사용하여 고차원 함수로 체계적으로 확장하기 위해.
• $T\bar{T}$ 및 $J\bar{T}$ 유형의 연산자에 대해 경로 적분 및 간소화된 표기법을 사용하여 변형된 상관함수에 대한 명시적 해석적 표현을 제공하기 위해.

제안 방법

• 페르투르바티브 CFT 접근법을 적용하여, CFT 임계점 근처에서 작은 결합 상수 $\lambda$를 가진 라그랑지안을 전개함으로써, 비변형 CFT에서 $\lambda \int d^2z \langle O(z,\bar{z}) \phi_1(z_1) \cdots \phi_n(z_n) \rangle$ 형태의 1차 보정을 도출한다.
• 워드 항등식을 사용하여 상관함수의 구조를 $2n-3$개의 헬름홀로픽 및 앤티헬름홀로픽 크로스 비율에 따라 제약함으로써, 1차 보정의 계산을 단순화한다.
• 상관함수의 특이성을 다루기 위해 특수한 적분 $\mathcal{I}_{i,j}$ 를 도입하였으며, 기존 적분의 도함수를 통해 재귀 관계를 유도하였다.
• 특히 $\mathcal{I}_{221}$ 등의 적분에서 발생하는 발산을 처리하기 위해 차원 정규화를 사용하였으며, $d = 2 + \tilde{\epsilon}$로 설정하여 $\tilde{\epsilon} \to 0$ 근처에서 임계 극한에서 잔여항과 로그 항을 추출하였다.
• $T\bar{T}$ 및 $J\bar{T}$ 변형 이징 모형에서 OTOC를 계산하여 양자 난류성과 적분 가능성의 존재 여부를 검증하였으며, 큰 $c$ 근사와 점점 커지는 행동을 활용하였다.
• 이전 연구에서 알려진 네점 함수와의 일致성을 확인하기 위해 결과를 도입된 $\mathcal{I}_{i,j}$ 표기법으로 재표현하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 耦합 상수에 대해 $T\bar{T}$ 변형이 CFT에서 일반적인 n점 상관함수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 1차 보정의 $J\bar{T}$-변형된 n점 함수의 구조는 무엇이며, 이는 $T\bar{T}$ 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 $T\bar{T}$ 또는 $J\bar{T}$ 변형이 기저의 적분 가능성을 가진 CFT의 적분 가능성에 영향을 미치는가? 이는 OTOC로 측정된다.
• RQ4 페르투르바티브 CFT 방법은 두점 및 세점 함수를 넘어서 고차원 함수로 체계적으로 확장 가능한가?
• RQ5 워드 항등식과 크로스 비율의 구조는 변형된 CFT에서 1차 보정의 형태를 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• 페르투르바티브 CFT 및 경로 적분을 사용하여 $T\bar{T}$ 및 $J\bar{T}$ 변형 CFT에서 일반적인 n점 상관함수의 1차 보정을 유도하였으며, 헬름홀로픽 및 앤티헬름홀로픽 크로스 비율에 대한 명시적 의존성을 포함한다.
• $T\bar{T}$-변형 이징 모형에서 OTOC는 1차에서 늦은 시간 행동이 변화하지 않음을 보여, 이는 변형이 적분 가능성에 영향을 주지 않음을 확인한다.
• 유사하게, $J\bar{T}$-변형 OTOC 역시 1차에서 변화하지 않으며, 이는 원래 CFT의 적분 가능성은 이 변형 하에서도 유지됨을 시사한다.
• 복잡한 고차원 함수에서 발생하는 적분을 다루기 위한 체계적인 표기법 $\mathcal{I}_{i,j}$ 를 제안하였으며, 이는 $T\bar{T}$ 및 $J\bar{T}$-변형 네점 함수에 대해 압축된 표현을 가능하게 하였다.
• $d=2+\tilde{\epsilon}$ 차원에서 $\mathcal{I}_{221}$ 적분의 발산 부분을 계산한 결과, $\frac{8\pi}{|z_{12}|^6}\left(\frac{4}{\tilde{\epsilon}} + 2\log|z_{12}|^2 + 2\log\pi + 2\gamma - 5\right)$ 를 도출하였으며, 이는 문헌에 알려진 결과와 일致한다.
• $\mathcal{I}_{122}$ 및 $\mathcal{I}_{11111}$ 에 대한 유도된 표현이 $\mathcal{I}_{i,j}$ 표기법으로 표현되었을 때 이전 연구에서 얻은 $J\bar{T}$-변형 네점 함수와 일致함을 확인하였으며, 이는 방법론과 표기법의 타당성을 검증한다.