[논문 리뷰] Notes on Cohomologies of Ternary Algebras of Associative Type

H. Ataguema, Abdenacer Makhlouf|arXiv (Cornell University)|2008. 12. 03.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 부분적으로 결합법칙을 만족하는 삼항 대수와 약하게 전체적으로 결합법칙을 만족하는 삼항 대수를 중심으로, 삼항 대수의 코homology 이론을 조사한다. 부분적으로 결합법칙을 만족하는 삼항 대수의 경우, 3-코boundary 연산자가 존재하지 않기 때문에 변형 코homology를 구성할 수 없으며, 이는 그들의 옵레라드가 코스줄이 아님을 시사한다. 또한, 타크트자얀의 코homology 구성법이 삼항 대수의 결합법칙 유형에 대해 실패하며, 유사한 결과들이 반대칭 결합법칙을 만족하는 이항 대수로 확장됨을 보여준다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to investigate the cohomologies for ternary algebras of associative type. We study in particular the cases of partially associative ternary algebras and weak totally associative ternary algebras. Also, we consider the Takhtajan's construction, which was used to construct a cohomology of ternary Nambu-Lie algebras using Chevalley-Eilenberg cohomology of Lie algebras, and discuss it in the case of ternary algebras of associative type. One of the main results of this paper states that a deformation cohomology does not exist for partially associative ternary algebras which implies that their operad is not a Koszul operad.

연구 동기 및 목표

• 삼항 대수의 결합법칙 유형에 대해 변형 이론과 호환되는 코homology 이론을 개발하기 위해.
• 부분적으로 결합법칙을 만족하는 삼항 대수의 경우, 변형 코homology를 위해 필수적인 3-코boundary 연산자가 존재하는지 조사하기 위해.
• 원래 Nambu-Lie 대수에 대해 개발된 타크트자얀의 구성법이 삼항 대수의 결합법칙 유형에 적용 가능한지 분석하기 위해.
• 분석을 반대칭 결합법칙을 만족하는 이항 대수로 확장하고, 그들이 변형 호환 코homology를 갖는지 여부를 조사하기 위해.
• 부분적으로 결합법칙을 만족하는 삼항 대수의 옵레라드가 코스줄이 아니라는 것을, 코homology의 확장 실패에 기반하여 확립하기 위해.

제안 방법

• 형식적 변형 이론을 사용하여 부분적으로 결합법칙을 만족하는 삼항 대수의 1- 및 2-코사이클 매핑을 구성한다.
• 일반 형태로 3-코사이클 연산자를 정의하고, δ³∘δ² = 0 조건을 통해 일관성을 시험한다.
• 3-코사이클 연산자의 계수를 제약하기 위해 반대칭 결합법칙 조건 μ(μ(x₁⊗x₂)⊗x₃) = -μ(x₁⊗μ(x₂⊗x₃))를 적용한다.
• 옵레라드 프레임워크를 사용하여 코homology 복합체가 차수 2를 초과해 확장될 수 있는지 분석한다.
• 유사한 방법을 반대칭 결합법칙을 만족하는 이항 대수에 적용하여 1- 및 2-코사이클 매핑을 유도하고, 3-코사이클 존재 여부를 시험한다.
• 일관성 조건의 유일한 해는 자명한 해임을 입증하며, 이는 비자명한 3-코사이클이 존재하지 않음을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분적으로 결합법칙을 만족하는 삼항 대수의 경우, 일관적인 3-코사이클 연산자를 통해 변형 코homology를 정의할 수 있는가?
• RQ2 Nambu-Lie 대수의 코homology에 대해 타크트자얀의 구성법이 삼항 대수의 결합법칙 유형으로 일반화되는가?
• RQ3 코homology 복합체가 차수 2를 초과해 확장되지 못함을 감안할 때, 부분적으로 결합법칙을 만족하는 삼항 대수의 옵레라드는 코스줄인가?
• RQ4 유사한 변형이론 프레임워크 하에서 반대칭 결합법칙을 만족하는 이항 대수에 대해 일관적인 3-코사이클을 구성할 수 있는가?
• RQ5 반대칭 결합법칙 제약 조건 하에서 특정 계수 조합의 비영성은 고차수로의 코homology 확장을 방해하는 원인인가?

주요 결과

• 부분적으로 결합법칙을 만족하는 삼항 대수의 경우, 계수 체계가 자명한 해만을 도출하므로 일관적인 3-코사이클 연산자를 정의할 수 없다.
• 코homology 복합체가 차수 2를 초과해 확장되지 못함은 부분적으로 결합법칙을 만족하는 삼항 대수의 옵레라드가 코스줄이 아님을 시사한다.
• Nambu-Lie 대수의 코homology에 대해 타크트자얀의 구성법은 삼항 대수의 결합법칙 유형으로 일반화되지 않는다.
• 약하게 전체적으로 결합법칙을 만족하는 삼항 대수의 코hom로지는 p-코사이클 연산자를 사용하여 모든 차수로 일관되게 확장될 수 있다.
• 반대칭 결합법칙을 만족하는 이항 대수의 경우, 비자명한 3-코사이클이 존재하지 않으며, 이는 그들의 변형 코homology가 존재하지 않으며 옵레라드가 코스줄이 아님을 증명한다.
• 코homology 확장의 방해 요인은 반대칭 결합법칙 제약 조건 하에서 특정 계수 조합의 비영성에 기인한다.