[논문 리뷰] Numerical analysis of a full discretization for stochastic Cahn--Hilliard equation driven by additive noise

Jianbo Cui, Jialin Hong외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 공간에서 스펙트럼 갈레르킨 방법과 시간에서 가속화된 암시적 오일러 스킴을 사용하여 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 스토하스틱 캐넌-힐리아드 방정식의 완전 이산화를 제시한다. 반응론적 이론, 보간 부등식, 정밀한 정규성 추정치를 조합하여 음의 소볼레프 공간에서 최적의 강한 수렴 속도를 확립하며, $L^p(\Omega; H)$ 노름에서 수렴 속도 $\mathcal{O}(\delta t + \lambda_N^{-\gamma/2})$ 를 달성한다.

ABSTRACT

In this article, we consider the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. We discretize this equation by using a spatial spectral Galerkin method and a temporal accelerated implicit Euler method. The optimal regularity properties and uniform moment bounds of the exact and numerical solutions are shown. Then we prove that the proposed numerical method is strongly convergent with the sharp convergence rate in a negative Sobolev space. By using an interpolation approach, we deduce the spatial optimal convergence rate and the temporal super-convergence rate of the proposed numerical method in strong convergence sense. To the best of our knowledge, this is the first result on the strong convergence rates of numerical methods for the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. This interpolation approach is also applied to the general noise and high dimension cases, and strong convergence rate results of the proposed scheme are given.

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 스토하스틱 캐넌-힐리아드 방정식의 완전 이산화에 대한 강한 수렴 속도 분석에서의 격차를 메우기 위해.
• 특히 음의 소볼레프 공간에서 정확한 해와 수치 해의 강한 의미에서의 최적 정규성 추정치를 확립하기 위해.
• 스펙트럼 갈레르킨 공간 근사와 가속화된 암시적 오일러 시간 이산화를 조합한 완전 이산화에 대해 정밀한 강한 수렴 오차 추정치를 유도하기 위해.
• 초기 자료에 대한 최소한의 정규성 가정 하에 $L^p(\Omega; H)$ 노름에서의 수렴 속도를 입증하기 위해.

제안 방법

• 노이만 라플라스티안의 유한차원 고유공간에 대한 투영 $P^N$ 을 사용한 공간 이산화: 스펙트럼 갈레르킨 방법.
• 강한 비선형 항을 다루고 안정성을 보장하기 위해 가속화된 암시적 오일러 스킴을 사용한 시간 이산화.
• 해의 연산자 스무딩 성질을 분석하고 정규성 추정치를 도출하기 위해 반응론적 이론을 활용.
• 소볼레프 공간 간의 보간 부등식을 사용하여 음의 소볼레프 노름에서의 수렴과 물리적 $H = L^2$ 공간 간의 격차를 메우기 위해.
• 캐넌-힐리아드 방정식의 기울기 흐름 구조를 이용해 강한 수렴 문제를 $\mathbb{H}^{-1}$ 공간으로 축소하기 위해.
• 원래 방정식과 무작위 편미분방정식 및 확률적 컨볼루션 $Z(t)$ 를 포함하는 시스템 간의 등가성을 활용하여 정밀한 오차 한계를 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 스토하스틱 캐넌-힐리아드 방정식에 대한 완전 이산화의 최적 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 표준 $L^2$ 공간이 아닌 음의 소볼레프 공간에서 문제를 분석함으로써 수렴 속도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 정확한 해와 수치 해의 정규성 성질은 강한 의미에서의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 스펙트럼 갈레르킨 공간 근사와 시간 가속화된 암시적 오일러 스킴 간의 상호작용은 최적 수렴을 달성하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 정규성이 제한된 경우 보간을 통해 $L^p(\Omega; H)$ 에서의 수렴 속도를 회복할 수 있는가?

주요 결과

• 초기 조건에 대해 $(I - \mathbb{L})X_0 \in \mathbb{H}^\gamma$ 라는 가정 하에 정확한 해 $X(t)$ 와 수치 해 $X^N_k$ 는 $\gamma \in (0, \frac{3}{2})$ 에 대해 $\mathbb{H}^\gamma$ 에서 최적의 정규성 추정치를 만족한다.
• 공간 스펙트럼 갈레르킨 방법은 $L^p(\Omega; H)$ 노름에서 최적의 수렴 속도 $\mathcal{O}(\lambda_N^{-\gamma/2})$ 를 달성한다. 여기서 $\lambda_N$ 은 노이만 라플라스티안의 $N$-번째 고유값이다.
• 가속화된 암시적 오일러 스킴을 사용한 시간 이산화에서는 시간 수렴 속도가 $\mathcal{O}(\delta t)$ 로 나타나며, $\delta t$ 는 시간 스텝 크기이다.
• 완전 이산화에서는 $p \geq 1$ 에 대해 $L^p(\Omega; H)$ 노름에서 조합된 수렴 속도 $\mathcal{O}(\delta t + \lambda_N^{-\gamma/2})$ 를 달성한다.
• 수렴 분석은 반응론적 이론의 스무딩 성질과 보간 기법을 사용하여 정밀한 오차 추정치를 도출한 음의 소볼레프 공간 $\mathbb{H}^{-1}$ 에서 수행된다.
• 결과는 정밀하며, 이는 이전 연구를 확장하여 근원이 국소 리프슈츠 조건을 만족하지 않는 경우, 특히 공간-시간 백색 잡음이 존재하는 경우의 수렴 속도를 확립한다.