[논문 리뷰] Weak convergence and invariant measure of a full discretization for non-globally Lipschitz parabolic SPDE

Jianbo Cui, Jialin Hong외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럴 갈레르킨 공간 근사와 암시적 오일러 시간 적분을 사용하여 비선형 계수를 가진 포물형 확률 편미분방정식에 대한 완전 이산화 방법을 제안한다. 이는 강한 분산성 조건과 비퇴화 조건 하에서, 약한 수렴 속도가 순수하게 날카로운 정도로 $δ t^\gamma + \lambda_N^{-\gamma}$ 를 확립하고, 콜모고로프 방정식에 대한 시간에 종속되지 않는 정규성 추정과 말레비인 계산을 활용하여 수치 불변 측도의 수렴을 증명한다.

ABSTRACT

Approximating the invariant measure and the expectation of the functionals for parabolic stochastic partial differential equations (SPDEs) with non-globally Lipschitz coefficients is an active research area and is far from being well understood. In this article, we study such problem in terms of a full discretization based on the spectral Galerkin method and the temporal implicit Euler scheme. By deriving the a priori estimates and regularity estimates of the numerical solution via a variational approach and Malliavin calculus, we establish the sharp weak convergence rate of the full discretization. When the SPDE admits a unique $V$-uniformly ergodic invariant measure, we prove that the invariant measure can be approximated by the full discretization. The key ingredients lie on the time-independent weak convergence analysis and time-independent regularity estimates of the corresponding Kolmogorov equation. Finally, numerical experiments confirm the theoretical findings.

연구 동기 및 목표

• 비글로벌 리프시츠 계수를 가진 포물형 SPDE의 완전 이산화에 대해 날카로운 약한 수렴 속도가 부족한 문제를 다루기.
• 적절한 분산성 및 비퇴화 조건 하에서 수치 불변 측도가 진정한 SPDE의 불변 측도로 수렴하는지 확립하기.
• 완전 이산화와 관련된 콜모고로프 방정식에 대해 시간에 종속되지 않는 사전 추정과 정규성 추정을 개발하기.
• 다항식 성장 조건을 만족하는 $C^2_p(H)$ 함수에 대해 약한 수렴 분석을 확장하기.

제안 방법

• 공간 이산화로 스펙트럴 갈레르킨 방법과 시간 적분으로 암시적 오일러 방법을 조합한다.
• 변분 접근법과 말레비인 계산을 활용하여 수치 해와 그 말레비인 도함수에 대한 사전 추정과 정규성 추정을 유도한다.
• 비스무트–엘워티–리 공식과 랜덤 PDE와 원래 SPDE 간의 등가성을 이용하여 콜모고로프 방정식의 시간에 종속되지 않는 정규성을 확립한다.
• 이토 공식을 스토크호드 적분에 적용하고 소보레프–가글라르도–니레버그 부등식을 사용하여 반구군 설정에서 최대 원리의 손실을 다룬다.
• 에르고딕성과 수치 해에 대한 시간에 종속되지 않는 유계성을 보장하기 위해 강한 분산성 및 비퇴화 조건을 도입한다.
• 수치 해의 균일 유계성과 지수 감쇠 추정을 활용하여 분석을 $C^2_p(H)$ 함수에 대해 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비글로벌 리프시츠 계수를 가진 포물형 SPDE의 완전 이산화에 대해 날카로운 약한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 적절한 조건 하에서 이러한 SPDE의 불변 측도는 완전 이산화에 의해 근사될 수 있는가?
• RQ3 완전 이산화에 대해 콜모고로프 방정식에 대한 시간에 종속되지 않는 정규성 추정은 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ4 에르고딕성과 수치 불변 측도의 수렴을 보장하기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ5 다항식 성장 조건을 만족하는 함수에 대해 약한 수렴 분석을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 완전 이산화 방법은 $\gamma \in (0, \beta)$ 이며 $\beta \in (0,1]$ 일 때, 순수하게 날카로운 약한 수렴 속도 $\delta t^\gamma + \lambda_N^{-\gamma}$ 를 달성한다.
• 강한 분산성과 비퇴화 조건 하에서 수치 불변 측도는 진정한 SPDE의 불변 측도로 수렴한다.
• 변분법과 말레비인 계산 기법을 통해 수치 해와 그 말레비인 도함수에 대한 시간에 종속되지 않는 사전 추정이 확립된다.
• 콜모고로프 방정식의 정규성 추정이 시간에 종속되지 않음을 입증하여 장기적인 약한 수렴 분석이 가능해진다.
• 수치 실험은 원형 유클리드 노이즈($\kappa = 0$)에 대해 약한 수렴 차수 0.5와 더불어 더 매끄러운 노이즈($\kappa = 0.5, 2$)에 대해 차수 1을 확인한다.
• 수치 방법은 에르고딕성을 보이며, 초기 조건이 다를 경우에도 기능의 평균이 시간이 지남에 따라 동일한 값으로 수렴한다. 이는 $\lambda_F > \lambda_1$ 인 경우에도 성립한다.