[논문 리뷰] Numerical Approximations for Fractional Differential Equations

Yuri Dimitrov|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 15.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 65인용 수 54

한 줄 요약

이 논문은 초기점에서 도함수가 0이 되는 조건을 활용하여 그ün발트 및 시프트 그ün발트 공식의 가중 평균을 사용하여 분수계 도함수 방정식에 대한 두 번째 및 세 번째 차수 수치 근사법을 제시한다. 하위확산 방정식과 일반 분수계 도함수 방정식에 대해 조건부 불변성과 두 번째 차수 정확도를 갖는 암시적 유한차분 스킴을 유도하며, 매끄러운 조건 하에서 $O(\tau^2 + h^2)$ 수렴성을 확보한다.

ABSTRACT

The Grünwald and shifted Grünwald formulas for the function $y(x)-y(b)$ are first order approximations for the Caputo fractional derivative of the function $y(x)$ with lower limit at the point $b$. We obtain second and third order approximations for the Grünwald and shifted Grünwald formulas with weighted averages of Caputo derivatives when sufficient number of derivatives of the function $y(x) $ are equal to zero at $b$, using the estimate for the error of the shifted Grünwald formulas. We use the approximations to determine implicit difference approximations for the sub-diffusion equation which have second order accuracy with respect to the space and time variables, and second and third order numerical approximations for ordinary fractional differential equations.

연구 동기 및 목표

• 표준 제1차 그ün발트 공식을 초월하여 분수계 도함수에 대한 고차수 수치 근사법을 개발하기 위해.
• 시간과 공간에서 둘 다 두 번째 차수 정확도를 갖는 분수계 하위확산 방정식에 대해 안정적이고 수렴성 보장이 되는 암시적 유한차분 스킴을 구성하기 위해.
• 일반 분수계 도함수 방정식에 대해 Caputo 도함수의 가중 평균을 사용하여 두 번째 및 세 번째 차수 정확도를 달성하기 위해.
• 초기점에서 도함수가 0이 되는 매끄러운 조건 하에서 엄밀한 오차 추정 및 수렴성 증명을 수립하기 위해.

제안 방법

• 함수 $y(x)$의 충분한 도함수가 $b$에서 0이 되는 조건 하에서, Caputo 도함수의 가중 평균을 사용하여 그ün발트 및 시프트 그ün발트 공식에 대한 두 번째 및 세 번째 차수 근사법을 유도한다.
• 시프트 그ün발트 공식의 오차 추정을 활용하여 분수계 도함수에 대한 고차수 근사법을 구성한다.
• 두 번째 및 세 번째 차수 정확도를 갖는 $y^{(\alpha)}(x) + y(x) = f(x)$ 형태의 일반 분수계 도함수 방정식을 해결하기 위한 재귀 관계를 개발한다.
• 근사식 (9) 및 (10)을 사용하여 하위확산 방정식 $\partial^\alpha u/\partial t^\alpha = \partial^2 u/\partial x^2 + G(x,t)$ 에 대한 암시적 차분 스킴 (56) 및 (57)을 구성한다.
• 행렬 재귀관계와 벡터 노름 분석을 활용하여 안정성과 수렴성을 증명하며, 오차가 $\|E_m\| < C m^\alpha \tau^\alpha (\tau^2 + h^2)$ 로 유계화됨을 보인다.
• 시간에 대해서는 크랭크-니콜슨 방법, 공간에 대해서는 중심차분을 적용하여 두 변수에서 모두 두 번째 차수 정확도를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기점에서 도함수가 0이 되는 조건 하에서, 그ün발트 공식의 가중 평균을 사용하여 분수계 도함수에 대한 고차수 근사법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 시간 분수계 도함수에 대해 두 번째 차수 근사법을 사용할 경우, 분수계 하위확산 방정식에 대한 암시적 차분 스킴의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ3 Caputo 도함수를 갖는 일반 분수계 도함수 방정식에 대해 두 번째 및 세 번째 차수 정확도를 갖는 스킴을 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ4 분수계 하위확산 문제의 수치적 해법에서 조건부 불변성과 두 번째 차수 수렴성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 함수 $y(x)$의 충분한 도함수가 $b$에서 0이 되는 조건 하에서, 그ün발트 및 시프트 그ün발트 공식의 가중 평균을 사용하여 Caputo 분수계 도함수에 대한 두 번째 및 세 번째 차수 근사법을 구성한다.
• 하위확산 방정식에 대한 암시적 차분 스킴 (56) 및 (57)은 시간 및 공간 변수에서 모두 두 번째 차수 정확도 $O(\tau^2 + h^2)$ 를 달성한다.
• 이 스킴은 조건부 불변성을 갖으며, 오차가 $\|E_m\| < C m^\alpha \tau^\alpha (\tau^2 + h^2)$ 로 유계화되어 모든 $m \leq M$ 에 대해 수렴함을 보장한다.
• 일반 분수계 도함수 방정식의 경우, 재귀 관계 (25), (26), 및 (33)을 통해 두 번째 및 세 번째 차수 정확도를 갖는 수치적 해를 도출할 수 있다.
• 오차 추정은 $y(x)$ 가 $b$에서 매끄럽고, 특히 도함수가 0이 되는 조건에 의존하여 고차수 수렴성을 달성한다.
• 이론적 분석을 통해 제안된 스킴이 큰 $m$ 에 대해서도 안정성과 수렴성을 유지함을 확인하였으며, 이는 $C_R$ 과 $\alpha$ 에 따라 결정되는 유계화된 값에 의존한다.