[논문 리뷰] Numerical Evidence for Exponential Speed-up of QAOA over Unstructured Search for Approximate Constrained Optimization

John Golden, Andreas Bärtschi외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 48인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 구조화된 믹서와 단계 분리기를 활용함으로써, 제약 조건이 있는 최적화 문제를 해결할 때 특정 QAOA 변형—클리크-오브젝티브 QAOA—가 구조가 없는 검색 방식의 고르버 스타일 검색보다 지수적 속도 향상을 달성할 수 있는 수치적 증거를 제시한다. 클리크-오브젝티브 QAOA는 문제 크기와 함께 로그 스케일링되며, 구조가 없는 검색의 양자 하한에 묶인 고르버-쓰리 QAOA를 능가하고, 대규모에서 뛰어난 근사 비율을 보여준다.

ABSTRACT

Despite much recent work, the true promise and limitations of the Quantum Alternating Operator Ansatz (QAOA) are unclear. A critical question regarding QAOA is to what extent its performance scales with the input size of the problem instance, in particular the necessary growth in the number of QAOA rounds to reach a high approximation ratio. We present numerical evidence for an exponential speed-up of QAOA over Grover-style unstructured search in finding approximate solutions to constrained optimization problems. Our result provides a strong hint that QAOA is able to exploit the structure of an optimization problem and thus overcome the lower bound for unstructured search. To this end, we conduct a comprehensive numerical study on several Hamming-weight constrained optimization problems for which we include combinations of all standardly studied mixer and phase separator Hamiltonians (Ring mixer, Clique mixer, Objective Value phase separator) as well as quantum minimum-finding inspired Hamiltonians (Grover mixer, Threshold-based phase separator). We identify Clique-Objective-QAOA with an exponential speed-up over Grover-Threshold-QAOA and tie the latter's scaling to that of unstructured search, with all other QAOA combinations coming in at a distant third. Our result suggests that maximizing QAOA performance requires a judicious choice of mixer and phase separator, and should trigger further research into other QAOA variations.

연구 동기 및 목표

• QAOA가 문제의 구조를 활용하여 구조가 없는 검색의 양자 하한을 초월할 수 있는지 조사하기 위해.
• 다양한 QAOA 변형—특히 믹서와 단계 분리기—이 제약 조건이 있는 최적화 문제에서 성능 스케일링을 어떻게 비교할 수 있는지 조사하기 위해.
• 일부 QAOA 설정이 근사 최적화에서 고르버 스타일 검색보다 지수적 속도 향상을 달성할 수 있는지 확인하기 위해.
• 일정한 근사 비율(예: 99%)을 유지하기 위해 필요한 QAOA 반복 횟수의 渐近적 스케일링을 분석하기 위해.
• 구조화된 하미르토니안 설계를 통해 최적의 QAOA 설정을 식별하여 성능을 극대화하기 위해.

제안 방법

• 에르되시-레니 그래프(에지 확률 0.5)를 기반으로 한 무작위 그래프에 대해 최대 n=18까지 전체 상태벡터 시뮬레이션을 수행하였다.
• 표준 믹서(링, 클리크)와 단계 분리기(목표 값, 임계 기반)를 사용하여 여러 QAOA 변형을 평가하였다.
• 클리크-오브젝티브 QAOA의 시뮬레이션 시간을 100배 줄이기 위해 단순화된 각도 찾기 히우리스틱을 구현하였다.
• 문제 크기 n에 따른 필요한 QAOA 반복 횟수의 스케일링을 모델링하기 위해 가중 최소 제곱법을 사용하였다.
• 고르버-쓰리 QAOA 및 클리크-쓰리 QAOA에서 임계값 최적화를 위해 베신-하핑과 수정된 이진 탐색을 적용하였다.
• 고르버-쓰리 QAOA를 구조가 없는 검색의 대리로 사용하여 근사 비율과 필요한 반복 횟수를 다양한 QAOA 변형 간에 비교하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문제의 구조를 활용하는 QAOA 변형이 근사 최적화 문제에서 구조가 없는 검색보다 지수적 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ2 문제 크기가 증가함에 따라 클리크-오브젝티브 QAOA의 성능 스케일링이 고르버-쓰리 QAOA와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 믹서와 단계 분리기의 선택이 대규모에서 높은 근사 비율을 유지하는 데 QAOA의 능력에 상당한 영향을 미치는가?
• RQ4 고정된 근사 비율(예: 99%)을 유지하기 위해 입력 크기 n에 따라 필요한 QAOA 반복 횟수의 渐近적 스케일링은 어떻게 되는가?
• RQ5 수치적 증거를 통해 구조화된 하미르토니안을 사용할 경우 QAOA가 구조가 없는 검색의 하한을 극복할 수 있는지 제안할 수 있는가?

주요 결과

• 클리치-오브젝티브 QAOA는 고르버-쓰리 QAOA보다 지수적 속도 향상을 보였으며, 고르버-쓰리 QAOA는 구조가 없는 검색의 하한에 묶여 있다.
• 클리치-오브젝티브 QAOA에서 99% 근사 비율을 달성하기 위해 필요한 QAOA 반복 횟수는 문제 크기 n에 대해 로그 스케일링되었으며, 이는 효율적인 스케일링임을 시사한다.
• n ≥ 12일 경우, 클리치-오브젝티브 QAOA가 고르버-쓰리 QAOA를 뚜렷이 능가했으며, 성능 차이가 큰 n에서서야 명확히 드러났다.
• 고르버-쓰리 QAOA의 성능는 구조가 없는 검색과 유사하게 스케일링되었으며, 이는 고르버-쓰리 QAOA가 양자 검색 하한의 기준이 되는 것으로 확인됨을 의미한다.
• 특히 큰 n에 대해 클리치-오브젝티브 QAOA는 동일한 근사 비율에 도달하기 위해 고르버-쓰리 QAOA보다 적은 반복 횟수를 필요로 하였다.
• 클리치-쓰리 QAOA 및 링-쓰리 QAOA 변형은 임계값 의존성에서 동일한 피크 구조를 보이지 않아 포괄적 탐색이 필요했으며, 이는 확장성에 제약을 주었다.