[논문 리뷰] On 1-absorbing primary ideal of a commutative ring (Correction to Theorem 17 is added)

Ayman Badawı, Ece Yetki̇n Çeli̇kel|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 01.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비단위 원소 $a,b,c$에 대해 $abc \in I$ 이면 $ab \in I$ 또는 $c \in \sqrt{I}$ 를 만족하는 조건을 통해 정의된, 1-흡수 기본 이상으로의 새로운 일반화인 교환환에서의 1-흡수 기본 이상을 도입하고 조사한다. 주요 기여는 $R$가 기본 이상이 아닌 1-흡수 기본 이상을 갖는다 하는 것과 $R$가 준국소환임과 동치임을 증명하는 것이다. 또한 세 이상의 곱을 포함한 등가 특성도 설정한다.

ABSTRACT

Let R be a commutative ring with identity. In this paper, we introduce the concept 1-absrbing primary ideal of R.

연구 동기 및 목표

• 1-흡수 기본 이상의 개념을 교환환에서 기본 이상의 일반화로 도입하고 연구하는 것.
• 특히 근 이상과 소 이상과의 관계를 포함한 1-흡수 기본 이상의 구조적 성질을 조사하는 것.
• 1-흡수 기본 이상이 기본 이상이 되지 않는 조건를 규명하는 것.
• 1-흡수 기본 이상이 기본 이상과 일치하는 환을 특성화하는 것.
• 특히 세 이상의 곱을 통해, 적절한 이상이 1-흡수 기본 이상임을 보여주는 등가 이상 이론적 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 비단위 원소 $a,b,c$에 대해 $abc \in I$ 이면 $ab \in I$ 또는 $c \in \sqrt{I}$ 를 만족하는 적절한 이상 $I$를 1-흡수 기본 이상으로 정의한다.
• 이상의 행동과 포함관계 분석을 위해 근 $\sqrt{I}$ 와 영약수 집합 $Z_I(R)$ 를 사용한다.
• 국소화와 몐체환을 이용한 예제를 구성하여, 기본 이상이 아닌 1-흡수 기본 이상의 존재를 보여준다.
• 비단위 원소의 성질과 역증명을 이용하여, 임의의 1-흡수 기본 이상 $I$에 대해 $\sqrt{I}$ 가 소 이상임을 증명한다.
• 1-흡수 기본 이상 조건과 곱 조건 사이의 등가성을 설정한다: $I_1I_2I_3 \subseteq I$ 이면 $I_1I_2 \subseteq I$ 또는 $I_3 \subseteq \sqrt{I}$ 를 만족하는 적절한 이상 $I_1,I_2,I_3$ 에 대해.
• 특히 몰체환과 국소화 설정에서의 성질 전이를 위해 환 준동형사상과 국소화 함자들을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1-흡수 기본 이상이 기본 이상이 되지 않는 경우는 언제이며, 이러한 현상이 발생하는 환의 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ2 1-흡수 기본 이상의 근과 소 이상 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 1-흡수 기본 이상 성질이 기본 이상 성질과 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 1-흡수 기본 이상 조건은 원소가 아닌 세 이상의 곱을 통해 특성화할 수 있는가?
• RQ5 1-흡수 기본 이상 성질은 환 준동형사상과 국소화에서 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 교환환 $R$의 적절한 이상 $I$가 1-흡수 기본 이상임은 임의의 적절한 이상 $I_1, I_2, I_3$ 에 대해 $I_1I_2I_3 \subseteq I$ 이면 $I_1I_2 \subseteq I$ 또는 $I_3 \subseteq \sqrt{I}$ 를 만족함과 동치이다.
• 1-흡수 기본 이상 $I$의 근 $\sqrt{I}$ 는 소 이상이다.
• 만약 환 $R$가 기본 이상이 아닌 1-흡수 기본 이상을 갖는다면, $R$는 반드시 준국소환이어야 한다.
• 준국소환이 아닌 환에서는, 적절한 이상 $I$가 1-흡수 기본 이상임과 기본 이상임이 동치이다.
• 노에테르 도메인 $R$에 대해, $R$가 데데킨드 도메인임과 동시에 모든 영이 아닌 적절한 1-흡수 기본 이상이 어떤 영이 아닌 소 이상 $P$ 와 정수 $n \geq 1$ 에 대해 $P^n$ 의 형태를 가짐과 동치이다.
• 핵이 이상에 포함되고 대상 환에서 준국소 조건을 만족하는 경우, 전사 환 준동형사상에 의한 1-흡수 기본 이상의 원상과 상상은 모두 1-흡수 기본 이상이 된다.