[논문 리뷰] On a new definition of fractional differintegrals with Mittag-Leffler kernel

Arran Fernandez, Dumitru Bǎleanu|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 27.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Mittag-Leffler 핵을 가진 Atangana-Baleanu (AB) 적분을 반복 적용하여 새로운 분수계 미분적분 연산자를 제안한다. 이로 인해 두 매개수로 구성된 연산자 가족이 도출되며, 이는 반군 성질을 만족하고 유계성을 갖는다. 주요 기여는 비국소성을 유지하면서도 반군 구조를 통해 수학적 일관성을 향상시킨 새로운 분수계 미적분 모델을 제공하는 것이다. 이는 변수 순서 동역학을 갖는 분수계 미분방정식에 정확한 해를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce and study the properties of a new family of fractional differential and integral operators which are based directly on an iteration process and therefore satisfy a semigroup property. We also solve some ODEs in this new model and discuss applications of our results.

연구 동기 및 목표

• 기존 분수계 연산자에서의 핵심 한계를 해결하기 위해 반군 성질을 만족하는 새로운 분수계 미적분 모델을 개발하는 것.
• AB 모델을 반복된 적분 표현식으로 확장하여 두 매개수로 구성된 미분적분 연산자 가족을 도출하는 것.
• 새로운 연산자에 대한 기본 분석적 성질, 예를 들어 유계성과 라플라스 변환 행동을 수립하는 것.
• 새로운 모델에서 분수계 ODE를 해결하고, 전자 회로와 같은 변수 순서 동역학 시스템에의 적용을 보여주는 것.
• 비국소적이고 복잡한 시스템을 더 향상된 구조적 성질을 갖는 수학적으로 일관된 프레임워크로 모델링하는 것.

제안 방법

• 새로운 미분적분 연산자는 Atangana-Baleanu 분수계 적분을 반복 적용하여 정의되며, 차수가 증가하는 리만-리우빌 적분을 포함하는 급수 전개로 표현된다.
• 디랙 델타 함수와 거듭제곱 법칙 핵을 사용한 분포 형태로 표현되어 분석적 조작이 가능해진다.
• 새로운 연산자에 대한 라플라스 변환을 유도하여 주파수 도메인에서의 행동을 분석한다.
• 두 개의 순서 α와 β를 가진 연산자의 병합이 순서 α+β를 가진 연산자로 이어지는 것을 증명함으로써 반군 성질을 엄밀히 증명한다.
• 분수계 ODE를 해결하기 위해 거듭제곱 급수 가정을 적용하며, 계수는 급수 전개를 등치시켜 유도된 재귀 관계를 통해 결정된다.
• 모델은 전자 회로에서의 완화를 모델링하는 변수 순서 ODE에 적용되며, 해는 t^{mα}의 거듭제곱 급수 형태로 표현된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 AB 적분을 반복 적용하여 반군 성질을 만족하는 새로운 분수계 미분적분 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ2 새로운 두 매개수 분수계 연산자가 병합될 경우 어떻게 행동하는가? 유계성과 해석성은 유지되는가?
• RQ3 새로운 모델을 사용하여 변수 순서 동역학을 갖는 분수계 ODE를 해결할 수 있으며, 그 해의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ4 수학적 일관성과 적용 가능성 측면에서 기존 모델인 AB 및 리만-리우빌 모델과 비교해 볼 때 새로운 연산자는 어떻게 다른가?
• RQ5 Mittag-Leffler 함수와 매개수 B(α)는 새로운 분수계 미적분의 역학적 특성을 어떻게 결정하는가?

주요 결과

• 새로운 분수계 미분적분 연산자는 반군 성질을 만족한다. 즉, 순서 α와 β를 가진 두 연산자의 병합은 순서 α+β를 가진 연산자로 이어지며, 이는 비반군 모델에 비해 중대한 개선이다.
• 이 연산자는 L¹[a,b]에서 유계적이며, 함수 공간 내 안정성과 잘 정의된 문제의 성질을 보장한다.
• 새로운 연산자의 라플라스 변환은 유도되었으며, Mittag-Leffler 함수를 포함함으로써 AB 모델의 핵심 분석적 특성을 유지한다.
• 분수계 ODE $\mathcal{D}_{0+}^{(\alpha,\beta)}f(t) = -Cf(t) + q(t)$의 해는 $t^{m\alpha}$의 거듭제곱 급수 형태로 유도되었으며, 계수는 재귀적으로 결정된다.
• 초기 조건에 대해 $a_0 = \frac{c_0}{C + \left(\frac{B(\alpha)}{1-\alpha}\right)^\beta}$가 성립하며, 이는 외부 힘 함수와 시스템 매개수에 의존한다.
• 해의 구조는 외부 힘 함수와 일반화된 이항 계수 및 감마 함수에 의해 표현되는 기억 핵함수의 조합에 의해 결정됨을 드러낸다.