[논문 리뷰] On a Non-Standard Stochastic Control Problem

Ivar Ekeland, Traian A. Pirvu|ArXiv.org|2008. 06. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비지수 할인에 의한 시간에 따라 일관되지 않은 선호도를 유도하는 멀턴 포트폴리오 최적화 문제를 다룬다. 적절한 적분방정식으로 정의된 가치함수를 통해 균형 정책을 도입하고, CRRA 효용 하에서 해의 존재성과 유일성을 증명함으로써, 기존의 작업을 일반 할인 함수로 확장하는 데 성공한다. 이는 새로운 적분-미분 방정식 프레임워크를 통해 달성된다.

ABSTRACT

This paper considers the Merton portfolio management problem. We are concerned with non-exponential discounting of time and this leads to time inconsistencies of the decision maker. Following Ekeland and Pirvu 2006, we introduce the notion of equilibrium policies and we characterize them by an integral equation. The main idea is to come up with the value function in this context. If risk preferences are of CRRA type, the integral equation which characterizes the value function is shown to have a solution which leads to an equilibrium policy. This work is an extension of Ekeland and Pirvu 2006.

연구 동기 및 목표

• 비지수 할인으로 인한 시간에 따라 일관되지 않은 확률적 포트폴리오 최적화 문제를 다루는 것.
• 이전 연구 [6]에서 다룬 특수 할인 사례를 넘어선 균형 정책 프레임워크를 확장하는 것.
• 고전적 HJB 방정식을 일반화하는 적분방정식을 통해 가치함수를 특성화하는 것.
• CRRA 효용 선호도 하에서 균형 정책의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 다양한 할인 함수에 대한 균형 정책 간 수치적 비교를 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 브라운 운동에 의해 구동되는 무위험 자산과 위험 자산을 고려한 연속시간에서 멀턴 포트폴리오 문제를 수식화하는 것.
• 적분 가능성과 음수 불가능성 제약 조건을 만족하는 허용 가능한 투자-소비 정책 정의.
• 미래에 따라 행동할 것임을 가정할 때, 결정자가 무한소 간격으로 이탈할 유혹이 없는 정책으로 균형 정책을 정의하는 것.
• 비정수 할인과 국소적이지 않은 항을 포함하는 적분방정식을 통해 가치함수를 유도하는 것.
• 비정수 할인으로 인한 시간에 따라 일관되지 않은 할인으로 인해 발생하는 비국소성의 특성을 지닌 HJB 방정식과 유사한 적분-미분 방정식 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 지수 할인 성분으로부터 유도된 일변도 상미분방정식 시스템으로 문제를 환원함으로써, CRRA 선호도 하에서 해의 존재성과 유일성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비지수 할인을 고려한 확률적 제어 문제에서 균형 정책은 어떻게 정의될 수 있는가?
• RQ2 일반 할인 하에서 균형 정책을 특성화하는 가치함수가 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 이전 연구에서 다룬 특수 할인 사례를 넘어서 가치함수에 대한 적분방정식 접근법을 확장할 수 있는가?
• RQ4 적분방정식 수식은 CRRA 효용 하에서 잘 정의된 문제이며 유일한 해를 갖는가?
• RQ5 비정수 할인율이 존재할 경우, 가치함수의 구조는 고전적 HJB 방정식과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 비표준 확률적 제어 문제의 가치함수는 고전적 HJB 방정식을 일반화하는 적분방정식으로 특성화된다.
• 비정수 할인으로 인한 비국소 항이 존재하는 적분-미분 방정식과 이 적분방정식이 동치임이 입증된다.
• CRRA 효용 선호도 하에서는 적분방정식이 존재하는 유일한 해를 갖는 일변도 방정식으로 축소된다.
• 지수 할인 성분으로부터 유도된 상미분방정식 시스템을 통해 CRRA 선호도 하에서 적분방정식의 해가 존재하고 유일함을 증명한다.
• 일반 할인 함수를 지수 함수의 합으로 근사함에 따라 해가 안정되며, 이는 프레임워크의 강건성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 다양한 할인 함수 하에서 균형 정책의 수치적 처리를 가능하게 하여 비교 분석을 가능하게 한다.