[논문 리뷰] On complexity of the quantum Ising model

Sergey Bravyi, Matthew B. Hastings|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 차수 3의 그래프 위에서 횡방향 자기장 이징 모델(TIM)의 기본 상태 에너지 추정이 복잡도 클래스 StoqMA에 대해 완전함을 입증하며, TIM이 2-로컬 스토쿠라스틱 하미르تون의 전체 계산적 난이도를 반영함을 보여준다. 또한, TIM을 이용한 양자 안내는 일반적인 k-로컬 스토쿠라스틱 하미르턴의 넓은 부분집합을 이용한 양자 안내와 다항 시간 등가임을 입증한다.

ABSTRACT

We study complexity of several problems related to the Transverse field Ising Model (TIM). First, we consider the problem of estimating the ground state energy known as the Local Hamiltonian Problem (LHP). It is shown that the LHP for TIM on degree-3 graphs is equivalent modulo polynomial reductions to the LHP for general k-local `stoquastic' Hamiltonians with any constant $k\ge 2$. This result implies that estimating the ground state energy of TIM on degree-3 graphs is a complete problem for the complexity class StoqMA - an extension of the classical class MA. As a corollary, we complete the complexity classification of 2-local Hamiltonians with a fixed set of interactions proposed recently by Cubitt and Montanaro. Secondly, we study quantum annealing algorithms for finding ground states of classical spin Hamiltonians associated with hard optimization problems. We prove that the quantum annealing with TIM Hamiltonians is equivalent modulo polynomial reductions to the quantum annealing with a certain subclass of k-local stoquastic Hamiltonians. This subclass includes all Hamiltonians representable as a sum of a k-local diagonal Hamiltonian and a 2-local stoquastic Hamiltonian.

연구 동기 및 목표

• 차수 3의 그래프 위에서 횡방향 자기장 이징 모델(TIM)의 기본 상태 에너지 추정의 계산 복잡도를 완전히 규명하는 것.
• Cubitt와 Montanaro가 제안한 고정된 상호작용 집합을 가진 2-로컬 하미르턴의 복잡도 분류를 해결하는 것.
• TIM 하미르턴을 이용한 양자 안내와 일반적인 k-로컬 스토쿠라스틱 하미르턴 하위집합을 이용한 양자 안내 간의 등가성을 확립하는 것.
• 차수 3의 그래프 위의 TIM이 다항 시간 감소를 통해 임의의 2-로컬 스토쿠라스틱 하미르턴을 시뮬레이션할 수 있음을 보여주어 StoqMA에 대한 완전성의 성립을 확립하는 것.

제안 방법

• 임의의 2-로컬 스토쿠라스틱 하미르턴을 차수 3의 그래프 위의 TIM의 효율적 저에너지 하미르턴으로 다항 시간 감소하는 방법을 구성한다.
• 퍼투르베이티브 기구와 Schrieffer-Wolff 변환을 활용하여 목표 하미르턴의 상호작용을 TIM 하미르턴의 효과적 상호작용으로 매핑한다.
• 하드코어 보손과 디머 매핑을 사용하여 TIM 내에서 국소 변환을 통해 고차원 상호작용을 시뮬레이션한다.
• Jordan-Wigner 변환과 애디아바틱 상태 준비를 적용하여 TIM 프레임워크 내에서 논리 큐비트와 기본 상태를 시뮬레이션한다.
• 경로 적분과 복소해석학을 활용하여 이징 체인 내 에너지 분리와 행렬 원소를 유계화하며, 스펙트럼 갭이 다항적으로 유계임을 보장한다.
• TIM의 기본 상태가 애디아바틱 진화를 통해 다항 시간 내에 준비될 수 있음을 입증하여, 양자 안내를 위한 효율적 초기화를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 3의 그래프 위의 TIM에 대한 국소 하미르턴 문제(LHP)는 복잡도 클래스 StoqMA에 대해 완전한가?
• RQ2 임의의 2-로컬 스토쿠라스틱 하미르턴이 다항 시간 감소를 통해 차수 3의 그래프 위의 TIM 하미르턴으로 효율적으로 시뮬레이션될 수 있는가?
• RQ3 TIM 하미르턴을 이용한 양자 안내와 일반적인 k-로컬 스토쿠라스틱 하미르턴의 넓은 클래스를 이용한 양자 안내 간의 다항 시간 등가성은 성립하는가?
• RQ4 자기적 또는 횡방향 상호작용을 가진 TIM의 기본 상태 에너지 추정의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 일반적인 2-로컬 스토쿠라스틱 하미르턴의 기본 상태는 TIM 기반 구조를 이용한 애디아바틱 진화로 효율적으로 준비될 수 있는가?

주요 결과

• 차수 3의 그래프 위의 TIM에 대한 국소 하미르턴 문제는 복잡도 클래스 StoqMA에 대해 완전함을 입증하여, 이 클래스 내에서 최대의 계산적 난이도를 가짐을 보였다.
• 임의의 2-로컬 스토쿠라스틱 하미르턴은 시스템 크기와 상호작용 강도에 대해 다항 시간 오버헤드를 동반하여, 차수 3의 그래프 위의 TIM 하미르턴으로 시뮬레이션 가능하다.
• 차수 3의 그래프 위의 TIM의 기본 상태 에너지를 추가 오차 ε로 추정하는 데에는 다항 시간 poly(n, ε⁻¹)이 소요되며, 일반적인 2-로컬 스토쿠라스틱 하미르턴과 동일한 복잡도를 가짐을 입증했다.
• TIM 하미르턴을 이용한 양자 안내와 k-로컬 스토쿠라스틱 하미르턴의 넓은 클래스를 이용한 양자 안내 간의 다항 시간 등가성이 성립한다. 이 클래스는 k-로컬 대각선 항과 2-로컬 스토쿠라스틱 항의 합으로 구성된다.
• 구성에서 사용된 TIM 체인의 스펙트럼 갭은 Ω(m⁻¹)의 비율로 증가하므로, 애디아바틱 상태 준비가 다항 시간 내에 수행될 수 있음을 보장한다.
• 이징 체인 내 에너지 분리와 행렬 원소의 유계화는 경로 적분을 통해 증명되었으며, 일부 c > 0에 대해 δ ≥ Ω(m⁻ᶜ⁻³/²)를 도출하여, 저에너지 근처에서 비 degenerate 기본 상태의 존재를 확인했다.