[논문 리뷰] On decompositions and approximations of conjugate partial-symmetric complex tensors

Taoran Fu, Bo Jiang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 25.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 22인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 켤레 부분대칭(CPS) 텐서를 순위-일치 켤레 부분대칭 텐서의 합으로 구성적으로 분해하고, 서로 다른 텐서 순위의 비등가성을 입증함으로써 켤레 버전의 Comon 추측을 반증하며, 랭크-일치 등가성을 유지하는 행렬 전개를 기반으로 한 볼록 최적화 모델을 개발하여, 준위분해를 통한 최적의 랭크-일치 근사 및 극단적 고유값의 신뢰성 있는 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Conjugate partial-symmetric (CPS) tensors are the high-order generalization of Hermitian matrices. As the role played by Hermitian matrices in matrix theory and quadratic optimization, CPS tensors have shown growing interest recently in tensor theory and optimization, particularly in many application-driven complex polynomial optimization problems. In this paper, we study CPS tensors with a focus on ranks, rank-one decompositions and approximations, as well as their applications. The analysis is conducted along side with a more general class of complex tensors called partial-symmetric tensors. We prove constructively that any CPS tensor can be decomposed into a sum of rank-one CPS tensors, which provides an alternative definition of CPS tensors via linear combinations of rank-one CPS tensors. Three types of ranks for CPS tensors are defined and shown to be different in general. This leads to the invalidity of the conjugate version of Comon's conjecture. We then study rank-one approximations and matricizations of CPS tensors. By carefully unfolding CPS tensors to Hermitian matrices, rank-one equivalence can be preserved. This enables us to develop new convex optimization models and algorithms to compute best rank-one approximation of CPS tensors. Numerical experiments from various data are performed to justify the capability of our methods.

연구 동기 및 목표

• CPS 텐서를 랭크-일치 CPS 텐서의 합으로 구성적으로 분해하여, 선형 조합을 통한 대체 정의를 제공한다.
• CPS 텐서에 대해 세 가지 서로 다른 랭크를 정의하고 분석하여, 일반적으로 서로 다름을 입증함으로써 켤레 버전의 Comon 추측을 반증한다.
• 행렬 전개를 기반으로 한 볼록 최적화 모델을 개발하여 CPS 텐서의 랭크-일치 등가성을 유지한다.
• 준위분해를 통한 세미정적계획법(SDP)을 활용하여 CPS 텐서의 최적 랭크-일치 근사 및 극단적 고유값을 계산한다.
• 복소다항식 최적화 사례에 대한 수치 실험을 통해 제안된 방법을 검증하며, 랭크-일치 해 복구를 위한 편향 전략을 포함한다.

제안 방법

• 부분대칭(PS) 텐서의 헤르미트 및 왜허르미트 분해를 사용하여 CPS 텐서의 구조를 분석한다.
• 加법수론 도구를 적용하여, 임의의 CPS 텐서가 랭크-일치 분해를 갖는다는 것을 구성적으로 증명한다.
• CPS 텐서를 헤르미트 행렬으로 전개하여 랭크-일치 등가성을 유지하고, 볼록 준위분해를 가능하게 한다.
• 최적의 랭크-일치 근사 문제에 대해 세미정적계획법(SDP) 준위분해를 적용하며, 랭크-일치 해는 전역 최적성의 증명을 제공한다.
• SDP가 랭크-일치 해를 도출하지 못할 경우, 텐서에 작은 무작위 편향을 도입하여 유효한 랭크-일치 해를 복구할 확률을 높인다.
• 원래 복소수 형태가 실수일 경우가 아니면, 고유벡터의 위상 회전을 통해 실수 고유값을 확보한다. $ \boldsymbol{z} = e^{-\mathbf{i} \theta /3} \boldsymbol{x} $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 켤레 부분대칭 텐서는 랭크-일치 켤레 부분대칭 텐서들의 합으로 분해될 수 있는가?
• RQ2 CPS 텐서의 다양한 랭크 개념(예: 대칭 랭크, 텐서 랭크)은 실수 대칭 경우와 같이 동일한가?
• RQ3 볼록 최적화를 통해 CPS 텐서의 랭크-일치 근사를 신뢰성 있게 계산할 수 있으며, 어떤 조건에서 해가 전역 최적인가?
• RQ4 CPS 텐서의 최적 랭크-일치 근사에 대한 SDP 준위분해 모델은 랭크-일치 해를 도출하는가? 만약 그렇지 않다면, 편향 전략이 복구를 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 계산된 고유값이 가장 큰 US-고유값임을 어떻게 증명할 수 있는가? 특히 이전 방법이 그러한 보장을 제공하지 못하는 경우에 대해.

주요 결과

• 모든 CPS 텐서는 랭크-일치 CPS 텐서들의 합으로 분해되며, 선형 조합을 통한 구성적 대체 정의를 제공한다.
• CPS 텐서에 대해 세 가지 서로 다른 랭크가 일반적으로 서로 다름을 입증하여, 켤레 버전의 Comon 추측을 반증한다.
• CPS 텐서의 행렬 전개가 랭크-일치 등가성을 유지하므로, 최적의 랭크-일치 근사를 위한 볼록 최적화를 적용할 수 있다.
• SDP 준위분해 모델은 CPS 텐서의 최적 랭크-일치 근사 및 가장 큰 US-고유값을 성공적으로 계산하며, 랭크-일치 해는 전역 최적성의 증명을 제공한다.
• 수치 실험에서 원래 문제에서 실패한 경우, $ \|\mathcal{E}\| = 10^{-4} $ 수준의 편향을 도입함으로써 랭크-일치 해를 얻는 확률이 크게 향상됨을 관찰하였다.
• 예제 5.2에서 메서드는 성공적으로 가장 큰 US-고유값 $ 3.1623 $ 과 그에 해당하는 네 개의 US-고유벡터를 복구하였으며, 이는 이전 연구의 결과를 확인하고 증명하였다.