[논문 리뷰] On existence and curvature estimates of Ricci flow

Man Chun Lee, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 09.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 체적과 섹션 군률에 대한 기하 조건 하에, 비유계 비콤팩트 켈러 다양체에서 리치 흐름의 단기 존재성을 확립한다. 비이차형 군률이 비음성이고 체적 최대 성장 조건을 만족할 때, He [11]와 Simon-Topping [23]의 기법을 사용하여 군률 감쇠 조건 $ | ext{Rm}| ≤ a t^{-\theta} $ 에서 $ \theta < 2 $ 일 때 비음성 이차형 군률이 유지됨을 증명하고, 비붕괴성과 균일한 유계성 조건 하에 군률이 $ a t^{-1} $ 으로 감쇠됨을 보이며, 이로 인해 이러한 다양체가 $ \mathbb{C}^m $ 과 복소해석적으로 동형임을 증명한다.

ABSTRACT

In this work, using the method by He, we prove a short time existence for Ricci flow on a complete noncompact Riemannian manifold with the following properties: (i) there is $r_0&gt;0$ such that the volume of any geodesic balls of radius $r\le r_0$ is close to the volume of the geodesic ball in the Euclidean space with the same radius; (ii) the Ricci curvature is bounded below; (iii) the sectional curvature is bounded below by $-Cd^2(x,x_0)$ where $d(x,x_0)$ is the distance from a fixed point. An application to the uniformization for complete noncompact Kahler manifolds with nonnegative bisectional curvature and maximal volume growth is given. The result is related to the results of He and Liu. We prove if $g(t)$ is a complete solution to the Kahler-Ricci flow on a complete noncompact Kahler manifold so that $g(0)$ has nonnegative bisectional curvature and the curvature of $g(t)$ is bounded by $at^{-b}$ for some $a&gt;0, 2&gt;b&gt;0$, then $g(t)$ also has nonnegative bisectional curvature. This generalizes a previous result. Under the assumption that $g(0)$ is noncollapsing, with additional assumption that the curvature of $g(t)$ is uniformly bounded away from $t&gt;0$, we prove that the curvature of $g(t)$ is in fact bounded by $at^{-1}$ for some $a&gt;0$. This result is proved using the method by Simon and Topping.

연구 동기 및 목표

• 비유계 비콤팩트 켈러 다양체에서 체적과 군률 조건 하에 리치 흐름의 단기 존재성을 확립하는 것.
• 군률 감쇠 조건 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-\theta} $ 에서 $ \theta < 2 $ 일 때 비음성 이차형 군률이 유지됨을 증명하여 이전 결과를 일반화하는 것.
• 비붕괴성과 균일한 군률 유계성 조건 하에 군률이 $ a t^{-1} $ 으로 감쇠됨을 보이며, 이는 이전의 추정을 향상시키는 것.
• 비음성 이차형 군률, 체적 최대 성장, 체적 통제 조건이 성립하는 비유계 비콤파クト 켈러 다양체가 $ \mathbb{C}^m $ 과 복소해석적으로 동형임을 증명하는 것.

제안 방법

• He [11]의 방법을 사용하여 체적 통제와 하한 리치 군률 및 섹션 군률 하한 조건이 성립하는 비유계 비콤팩트 다양체에서 리치 흐름의 단기 존재성을 증명한다.
• Tian-Wang [24]의 가짜 국소성 정리를 적용하여 짧은 시간 간격 동안 군률 발전을 통제한다.
• Simon과 Topping [23]의 군률 추정 기법을 활용하여 비붕괴성과 균일한 유계성 조건 하에 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-1} $ 을 도출한다.
• 체적 비붕괴성, 군률 감쇠성, 리치 흐름 진화를 결합하여 비음성 이차형 군률이 유지됨을 보인다.
• 대비 증명의 구조에서 케이스 2에 대해 스케일링과 흐름의 재스케일링을 사용하여 모순을 도출한다.
• Lemma 4.1과 Lemma 4.2을 적용하여 변화하는 메트릭 볼 내에서 체적과 군률을 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음성 이차형 군률과 체적 최대 성장을 만족하는 비유계 비콤팩트 켈러 다양체에서 리치 흐름이 단기 존재하기 위한 기하 조건은 무엇인가?
• RQ2 비음성 이차형 군률이 군률 감쇠 조건 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-\theta} $ 에서 $ \theta < 2 $ 일 때, $ a $ 가 작지 않아도 유지될 수 있는가?
• RQ3 비붕괴성과 균일한 군률 유계성 조건 하에 비유계 켈러-리치 흐름 해에 대해 군률 추정 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-1} $ 이 성립하는가?
• RQ4 초기 군률 상수에 대한 소형 조건 없이 군률 감쇠 속도를 $ t^{-\theta} $ 에서 $ t^{-1} $ 으로 향상시킬 수 있는 정도는 어느 정도인가?
• RQ5 비음성 이차형 군률, 체적 최대 성장, 체적 통제 조건이 성립하는 비유계 비콤팩트 켈러 다양체는 $ \mathbb{C}^m $ 과 복소해석적으로 동형인가?

주요 결과

• 논문은 체적 통제 조건 $ V_g(x,r_0) \geq (1 - \delta_0) r_0^{2m} \omega_{2m} $, 하한 리치 군률 유계성, 그리고 섹션 군률가 $ -r^2(x) $ 이하일 때 비유계 비콤팩트 켈러 다양체에서 리치 흐름의 단기 존재성을 증명한다.
• 비음성 이차형 군률이 군률 감쇠 조건 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-\theta} $ 에서 $ \theta < 2 $ 일 때 유지됨을 증명하며, $ a $ 가 작지 않아도 성립함을 보이며, 이는 [13]의 결과를 일반화한다.
• 비붕괴성과 $ t > 0 $ 에서 군률의 균일한 유계성 조건 하에 군률이 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-1} $ 으로 감쇠됨을 보이며, 이는 이전 추정을 향상시킨다.
• 주요 결과는 얀의 추측을 확인한다: $ \delta_0 $ 가 충분히 작고 뿌리가 $ m $ 에만 의존하면, 이러한 다양체는 $ \mathbb{C}^m $ 과 복소해석적으로 동형이다.
• 증명은 스케일링과 군률 추정을 사용한 대비 증명에 기반하며, 큰 군률 피크가 존재한다고 가정하면 체적과 군률 통제 조건과 모순이 발생함을 보인다.
• 이 결과는 비음성 섹션 군률을 가진 켈러 다양체에도 적용되며, 이러한 다양체의 군률 및 체적 조건은 가정을 만족한다.