[논문 리뷰] On formula to compute primes and the nth prime

Issam Kaddoura, Samih Abdul-Nabi|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 18.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 9인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 새로운 소수 판별법을 제안하고, 이를 바탕으로 π(n) — 즉, n 이하의 소수의 개수를 세는 함수 — 를 위한 공식을 도출한다. 이를 통해 n 이하의 소수 개수를 계산할 수 있게 되며, 제곱수의 제곱근에 대한 닫힌 형태의 표현식을 통해 제n번째 소수를 계산할 수 있다. 또한 주어진 수 이후의 다음 소수를 찾는 알고리즘을 제시하여 수론 분야에서 명시적인 소수 생성 및 세기의 이론적 진전을 이룬다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a new primality test, and then we employ this test to find a formula for π that computes the number of primes within any interval. We finally propose a new formula that computes the nth prime number as well as the next prime for any given number

연구 동기 및 목표

• 효율적으로 어떤 수가 소수인지 판별할 수 있는 새로운 소수 판별법을 개발하는 것.
• 제안된 소수 판별법을 사용하여 n 이하의 소수의 개수를 세는 함수 π(n)의 공식을 유도하는 것.
• 소수 세기 함수를 기반으로 제n번째 소수의 닫힌 형태의 표현식을 구성하는 것.
• 주어진 정수 이후의 다음 소수를 계산하는 알고리즘적 방법을 제공하는 것.
• 수론 분야에서 소수 생성 및 세기의 이론적으로 명시적인 공식을 기여하는 것.

제안 방법

• 저자들은 모듈로 산술과 팩토리얼 유사 표현을 포함하는 특정 산술 조건에 기반한 새로운 소수 판별법을 제안한다.
• 이 소수 판별법을 사용하여 주어진 구간 내에서 소수를 식별하는 특성 함수를 정의한다.
• 소수 세기 함수 π(n)는 이 특성 함수에 대한 합으로 표현되며, 이는 n 이하의 소수를 효과적으로 세는 데 기여한다.
• 유도된 π(n) 공식을 바탕으로 제n번째 소수는 역함수 접근법을 통해 계산되며, π(n) = k 를 만족하는 가장 작은 n 을 구한다.
• 이 방법은 주어진 수 이후의 다음 소수를 계산하기 위해 소수 판별법을 반복적으로 사용하는 절차를 포함한다.
• 이 접근법은 수론적 항등식과 합산 기법에 기반하여 소수 생성 및 세기를 닫힌 형태로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정 산술 조건을 기반으로 한 새로운 소수 판별법을 통해 소수의 개수와 위치를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 새로운 소수 판별 기준을 사용하여 n 이하의 소수의 개수를 세는 함수 π(n)의 닫힌 형태의 표현식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 소수 세기 함수를 기반으로 한 공식을 통해 제n번째 소수를 직접 계산할 수 있는가?
• RQ4 주어진 정수 이후의 다음 소수를 계산하는 결정적 알고리즘의 구조는 어떠한가?
• RQ5 수론적 항등식을 사용하여 소수 생성 및 세기의 명시적 공식을 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 특정 산술 조건을 기반으로 하는 새로운 소수 판별법을 성공적으로 제안하였으며, 이는 소수를 식별하는 데 기여한다.
• 소수 판별법을 사용하여 n 이하의 소수의 개수를 세는 함수 π(n)의 공식을 도출하였으며, 이는 소수 개수의 명시적 계산을 가능하게 한다.
• 소수 세기 함수의 역함수를 이용하여 제n번째 소수에 대한 닫힌 형태의 표현식을 구성하였다.
• 이 방법은 소수 판별법을 반복적으로 사용하여 주어진 정수 이후의 다음 소수를 계산하는 결정적 알고리즘을 제공한다.
• 결과적으로 이는 계산 효율성은 분석되지 않았지만, 수론 분야에서 명시적인 소수 수의 계산에 있어 이론적 기여를 한다.
• 수식들은 수론의 프레임워크 내에서 수학적으로 타당하지만, 복잡성으로 인해 실용적 적용 가능성은 제한되어 있다.