[논문 리뷰] On loop Deligne--Lusztig varieties of Coxeter-type for inner forms of ${ m GL}_n$

Charlotte Chan, Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 08.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소 비아르키메데스 체 위의 $\mathrm{GL}_n$의 내부형에 대해 루프 딜리뉴-루스티그 다양체를 구축하며, 그들의 $\ell$-adic 코hom로는 랭랜즈 매개변수가 비분비 타원형 토러스를 통해 인자화되는 광범위한 비가역 초스피드 표현을 실현함을 보여준다. 핵심 결과는 $\pm R_T^G(\theta)$가 거의 모든 이러한 표현들에 대해 기하적, 국소적, 명시적인 방식으로 국소 랭lands 대응과 자크에-랑즈 대응을 실현하며, 이는 이전 연구를 초월하는 것이다.

ABSTRACT

For a reductive group $G$ over a local non-archimedean field $K$ one can mimic the construction from the classical Deligne--Lusztig theory by using the loop space functor. We study this construction in special the case that $G$ is an inner form of ${ m GL}_n$ and the loop Deligne--Lusztig variety is of Coxeter type. After simplifying the proof of its representability, our main result is that its $\ell$-adic cohomology realizes many irreducible supercuspidal representations of $G$, notably almost all among those whose L-parameter factors through an unramified elliptic maximal torus of $G$. This gives a purely local, purely geometric and -- in a sense -- quite explicit way to realize special cases of the local Langlands and Jacquet--Langlands correspondences.

연구 동기 및 목표

• 국소 체 위의 $\mathrm{GL}_n$의 내부형에 대해 루프 딜리뉴-루스티그 다양체의 단순화되고 더 만족스러운 정의를 제공하기 위해.
• 기본 문자열을 초월하여 훨씬 광범위한 클래스로 초스피드 표현의 기하적 실현을 확장하기 위해.
• 이 다양체의 코호몰로지가 $L$-매개변수가 비분비 타원형 토러스를 통해 인자화되는 거의 모든 초스피드 표현에 대해 국소 랭랜즈 대응과 자크에-랑즈 대응을 실현함을 확립하기 위해.
• 코xeter 유형의 딜리뉴-루스티그 다양체의 코호몰로지를 국소 체 위에서 연구하기 위한 새로운 기하 기법을 개발하여, 루스티그의 결과를 정규 케이스를 초월해 일반화하기 위해.

제안 방법

• 체수 $\overline{\mathbb{F}}_q$ 위에 정의된 스킴 $X$를 구축하며, $G \times T$ 작용을 갖도록 하되, 여기서 $G = \mathbf{G}(K)$, $T = \mathbf{T}(K) \cong L^\times$이며, $\mathbf{G}$는 $\mathrm{GL}_n$의 내부형이다.
• 매끄러운 문자열 $\theta: T \to \overline{\mathbb{Q}}_\ell^\times$에 대해, $X$의 $\ell$-adic 오일러 지표로 $\theta$-동치 성분 $R_T^G(\theta)$를 정의하며, 이는 고전적 딜리뉴-루스티그 이론을 루프 설정으로 일반화한다.
• 매우 정규 원소들에 대한 추적 방법과 문자 관계를 활용하며, 비분비 확장에서 추적이 0이 되는 사실을 이용한다.
• 프로베누스 유도법과 컴acts 인도의 차수 공식을 적용하여 $R_T^G(\theta)$가 기약임과 동시에 고유한 초스피드 표현 $\pi_{i_0}$와 동형임을 보인다.
• 유한 몫 $U_L^1$ 위에서 문자의 선형 독립성을 이용하여, $\theta|_{U_L^1}$이 일반 위치에 있을 경우 $\chi_{i_0} = \theta$임을 확인한다.
• 문자 $\theta|_Z$가 유니터리가 되도록 $K^\times$의 문자로 토글링을 통해 문제를 단순화하고, 체적 및 차수 공식을 사용하여 다중도를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 비아르키메데스 체 위의 $\mathrm{GL}_n$의 내부형에 대해 루프 딜리뉴-루스티그 다양체가 원시 문자열의 경우를 초월하여 순수 국소적, 기하적 실현을 통해 국소 랭랜즈 대응을 실현할 수 있는가?
• RQ2 이 다양체의 코호몰로지가 비분비 타원형 토러스를 통해 인자화되는 초스피드 표현을 어느 정도 실현하는가?
• RQ3 특히 문자 $\theta$가 정규가 아닐 경우, 국소 체 위의 코xeter 유형의 딜리뉴-루스티그 다양체의 코호몰로지를 분석하기 위한 새로운 기하 기법을 개발할 수 있는가?
• RQ4 매우 정규 원소에서 표현의 추적을 어떻게 활용하여 $R_T^G(\theta)$의 구성 성분을 식별하고 기약성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 자크에-랑즈 대응 관계에서 문자 $\theta$와 결과 초스피드 표현 $\pi_{\theta}$ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $p > n$ 이면, $\theta|_{U_L^1}$이 $\operatorname{Gal}(L/K)$에서 자명한 안정자를 갖는 한, $\theta$-동치 성분 $\pm R_T^G(\theta)$는 $G = \mathbf{G}(K)$의 기약 초스피드 표현이 된다.
• 표현 $R_T^G(\theta)$는 국소 랭랜즈 대응을 실현한다: $\mathrm{LL}(\sigma_\theta)$와 동형이며, 여기서 $\sigma_\theta = \operatorname{Ind}_{\mathcal{W}_L}^{\mathcal{W}_K}(\theta \cdot \mu)$이다.
• 표현 $R_T^G(\theta)$는 자크에-랑즈 대응을 실현한다: $\mathrm{JL}$에 의해 그 이미지는 $\pi_\theta$이며, Howe의 구성과 일치한다.
• $\theta|_{U_L^1}$이 일반 위치에 있을 경우, 코호몰로지 $R_T^G(\theta)$는 기약이며 고유한 초스피드 표현 $\pi_{i_0}$와 동형이며, 다중도가 1이다.
• $\theta$가 매우 정규 원소에서의 추적과 일치하는 유일한 문자임을 보여주는 $U_L^1 / U_L^{h'}$ 위에서 문자의 선형 독립성을 이용하여 $\chi_{i_0} = \theta$임을 확립한다.
• 증명은 비분비 확장에서의 추적 소멸과 하르 측도 및 체적을 포함한 차수 공식에 의존하며, 이는 $R_T^G(\theta)$가 유일한 기약 구성 성분만을 갖는다는 것을 확인한다.