[논문 리뷰] On morphisms killing weights, weight complexes, and Eilenberg-Maclane (co)homology of spectra

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 가중치 구조를 가진 삼각형 범주에서 '가중치를 제거하는' 사상에 대한 동치 정의를 수립하며, $\Sigma C = SH$ 이고 구면 가중치 구조를 가질 때, 사상이 $m$에서 $n$까지의 가중치를 제거하는 것은 모든 $SH[m,n]$에 의해 표현되는 코homological 함자에서 0이 되는 것과 동치임을 증명한다. 주요 기여는 스펙트럼이 $m$에서 $n$까지의 가중치를 갖지 않을 조건을 그들의 $H\mathbb{Z}$-호모로지로 특성화함으로써, 토퍼션 쌍과 안정 Hurewicz 정리의 역을 도출하는 데 있다.

ABSTRACT

We ask whether a morphism $g$ in a triangulated category $C$ endowed with a weight structure "kills weights" (between an integer $m$ and some $n\ge m$). If $g=id_M$ (where $M\in Obj C$) and $C$ is Karoubian, then $g$ kills weights $m,\dots,n$ whenever there exists a weight decomposition of $M$ that "avoids" these weights (in the sense earlier defined by Wildeshaus). We prove the equivalence of several definitions for killing weights. In particular, we describe a family of cohomological functors that "detects" this notion. We also prove that $M$ is without weights $m,\dots, n$ (i.e., a decomposition of $M$ avoiding these weights exists) if and only if the corresponding condition is fulfilled for its weight complex $t(M)$. These results allow us to get new (stronger) results on the conservativity of the weight complex functor $t$. We study in detail the case $C=SH$ (endowed with the spherical weight structure whose heart consists of coproducts of sphere spectra); the corresponding weight complex functor is just the one calculating the $H\mathbb{Z}$-homology (whose terms are free abelian groups). In this case $g$ kills weights $m,\dots, n$ if and only if $H(g)=0$ for all $H$ represented by elements of $SH[m,n]$ (so, these morphisms form an injective class of morphisms in the sense defined by Christensen; yet this class is not stable with respect to shifts). Moreover, for any spectrum $M$ there exists a "weakly universal decomposition" $P o M o I_0$ for $I_0\in SH[m,n]$ and $P$ being without weights $m,\dots,n$ (so, we obtain a torsion pair). We also prove a certain converse to the stable Hurewicz theorem.

연구 동기 및 목표

• 가중치 구조를 가진 삼각형 범주에서 특정 가중치 $m$에서 $n$까지를 '제거하는' 사상을 정의하고 특성화하는 것.
• 코homological 함자에 의한 표현 가능 함수를 통한 탐지와 같은 다양한 정의의 동치성을 증명하는 것.
• 객체 $M$이 $m$에서 $n$까지의 가중치를 갖지 않음과 그 가중치 복합체 $t(M)$이 동일한 조건을 만족함이 동치임을 증명함으로써, 가중치 복합체 함자 $t$의 보존성 강화.
• 구면 가중치 구조를 가진 안정 호모토피 범주 $SH$의 경우를 분석하여, 가중치 제거가 $H\mathbb{Z}$-호모로지의 0화와 동치임을 보이는 것.
• 가중치 $m$에서 $n$까지를 제거하는 사상의 집합이 삼투형 클래스임을 보이며, 비록 이동에 대해 닫혀 있지 않지만, 임의의 스펙트럼에 대해 약한 유일성 분해를 구성하는 것.

제안 방법

• 일부 절단 사상 $w_{\leq n}M \to w_{\leq m-1}N$과의 호환성을 통해, $m$에서 $n$까지의 가중치를 제거하는 사상의 개념을 도입한다.
• SH[m,n]에 의해 표현되는 코homological 이론을 사용하여, 사상 기반 정의와 코homological 0화 조건 간의 동치성을 증명한다.
• 가중치 복합체 함자 $t$를 적용하여 객체의 가중치 조건을 그들의 가중치 복합체 조건으로 변환하며, 그 보존성의 특성을 활용한다.
• 모든 $SH[m,n]$에 속하는 객체를 포함하는 $P$가 $m$에서 $n$까지의 가중치를 갖지 않으며, $I_0 \in SH[m,n]$인 약한 유일성 분해 $P \to M \to I_0$를 구성함으로써, 토퍼션 쌍을 형성한다.
• 비-Karoubian 범주에서의 반례를 사용하여, 핵심 결과(예: 분해의 존재)가 Karoubian 조건 없이 실패할 수 있음을 보여준다.
• SH에서의 구면 가중치 구조를 분석하여, $g$가 $m$에서 $n$까지의 가중치를 제거하는 것은 모든 $SH[m,n]$에 의해 표현되는 $H$에 대해 $H(g) = 0$임과 동치임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각형 범주에서 가중치 구조를 가진 범주에서 사상 $g$가 $m$에서 $n$까지의 가중치를 제거하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 다양한 '가중치 제거' 정의는 동치이며, 어떤 코homological 함자들이 이 성질을 탐지하는가?
• RQ3 객체 $M$이 $m$에서 $n$까지의 가중치를 갖지 않음과 그 가중치 복합체 $t(M)$이 동일한 조건을 만족함이 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 가중치 복합체 함자 $t$는 $SH$에서의 가중치 구조의 보존성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 임의의 스펙트럼 $M$에 대해, 핵이 $m$에서 $n$까지의 가중치를 피하는 약한 유일성 분해를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 범주 $\underline{C} = SH$ 이면, 사상 $g$가 $m$에서 $n$까지의 가중치를 제거하는 것은 모든 $SH[m,n]$에 의해 표현되는 코homological 함자 $H$에 대해 $H(g) = 0$임과 동치이다.
• 객체 $M$이 $m$에서 $n$까지의 가중치를 갖지 않음과 그 가중치 복합체 $t(M)$이 동일한 조건을 만족함이 동치임을 증명함으로써, 함자 $t$의 보존성 강화.
• 임의의 스펙트럼 $M$에 대해, $P$가 $m$에서 $n$까지의 가중치를 갖지 않으며 $I_0 \in SH[m,n]$인 약한 유일성 분해 $P \to M \to I_0$가 존재하며, 이는 토퍼션 쌍을 형성한다.
• 가중치 $m$에서 $n$까지를 제거하는 사상의 집합은 Christensen의 의미에서 삼투형이지만, 이동에 대해 닫혀 있지 않다.
• 비-Karoubian 범주에서는 $m$에서 $n$까지의 가중치를 갖지 않는 객체가 조건부로 유계일지라도, 이러한 가중치를 피하는 분해를 갖지 못할 수 있다.
• 논문은 $SH$에서의 가중치 제거를 $H\mathbb{Z}$-호모로지로 특성화함으로써, 안정 Hurewicz 정리의 역을 제공한다.