[논문 리뷰] On penalisation results related with a remarkable class of submartingales

Joseph Najnudel, Ashkan Nikeghbali|ArXiv.org|2009. 11. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 기술적 조건 하에서 확산에서 유도된 하부마르팅글의 벌금 부과 결과를 수립하며, 시간에 따라 변형된 확률 측도가 약한 수렴을 통해 한정 측도로 수렴함을 보여준다. 주요 기여는 라플라스 변환과 타우버형 정리의 渐近 분석을 통해, 가족 $(\mathbb{Q}_t)$에 독립적인 $\sigma$-유한 측도 $\mathcal{Q}$에 대해 절대 연속인 한정 확률 측도 $\mathbb{Q}_{\infty}$의 존재를 증명하는 것이다.

ABSTRACT

Is this paper we study penalisations of diffusions satisfying some technical conditions, generalizing a result obtained by Najnudel, Roynette and Yor. If one of these diffusions has probability distribution $\mathbb{P}$, then our result can be described as follows: for a large class of families of probability measures $(\mathbb{Q}_t)_{t \geq 0}$, each of them being absolutely continuous with respect to $\mathbb{P}$, there exists a probability $\mathbb{Q}_{\infty}$ such that for all events $Λ$ depending only on the canonical trajectory up to a fixed time, $\mathbb{Q}_t (Λ)$ tends to $\mathbb{Q}_{\infty} (Λ)$ when $t$ goes to infinity. In the cases we study here, the limit measure $\mathbb{Q}_{\infty}$ is absolutely continous with respect to a sigma-finite measure $\mathcal{Q}$, which does not depend on the choice of the family of probabilities $(\mathbb{Q}_t)_{t \geq 0}$, but only on $\mathbb{P}$. The relation between $\mathbb{P}$ and $\mathcal{Q}$ is obtained in a very general framework by the authors of this paper.

연구 동기 및 목표

• 기존 예시를 초월하여 일반적인 기술적 조건을 만족하는 확산에 대한 벌금 부과 결과를 일반화하기 위해.
• 기본 측도 $\mathbb{P}$에 대해 절대 연속인 측도 가족 $\mathbb{Q}_t$의 수렴에 대해 약한 극한 $\mathbb{Q}_{\infty}$의 존재를 확립하기 위해.
• 한정 측도 $\mathbb{Q}_{\infty}$가 $\mathbb{Q}_t$ 가족의 선택에 영향을 받지 않고 오직 $\mathbb{P}$에만 의존하는 $\sigma$-유한 측도 $\mathcal{Q}$에 대해 절대 연속임을 보여주기 위해.
• 측도 확장 문제를 해결하기 위해, $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$의 渐近 분석을 통해 조건부 기대값의 수렴을 증명하기 위해.

제안 방법

• 라플라스 변환의 형태인 $\lambda^{1-\alpha} \int_0^\infty e^{-\lambda t} \mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}] \, dt$를 사용하여 $\lambda \to 0^+$일 때의 渐近 행동을 분석한다.
• 타우버형 정리를 적용하여 라플라스 변환의 행동에서 $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$의 장기적 渐近 행동을 유도한다.
• 레벨 $a$ 이하에서의 과거 시간 $g_t^{[a]}$에 기반한 $\Gamma_t$의 분해를 도입하여, $g_t^{[a]} \leq (1-\gamma)t$ 및 $g_t^{[a]} > (1-\gamma)t$ 영역으로 적분을 분할한다.
• 마르코프 성질과 $\rho(2\gamma)$를 통한 추정을 활용하여 尾部 기여 $J(\lambda,\gamma)$를 유계화하고, $\gamma \to 0$일 때 수렴을 보장한다.
• 모든 $t$에 대해 $\Gamma_t$가 감소함과 동시에 $\mathbb{P}[\Gamma_t] > 0$임을 이용하여 $\mathbb{Q}_t$의 잘 정의성을 확보하고, $\mathcal{Q}[\Gamma_\infty] > 0$와의 모순을 피하기 위해.
• 특히 $\Gamma_t$가 $t$에 대해 감소하고 $\mathbb{P}[\Gamma_t] > 0$임을 이용하여 $\mathbb{Q}_t$의 잘 정의성과 $\mathcal{Q}[\Gamma_\infty] > 0$와의 모순 방지를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 측도 $\mathbb{P}$에 대해 절대 연속인 측도 가족 $\mathbb{Q}_t$가 약한 수렴을 통해 한정 측도 $\mathbb{Q}_\infty$로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 한정 측도 $\mathbb{Q}_\infty$는 $\mathbb{Q}_t$ 가족의 선택에 영향을 받지 않는 $\sigma$-유한 측도 $\mathcal{Q}$에 대해 절대 연속으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 표준 필터레이션이 완비되지 않았고 $\Gamma_t$가 거의 확실히 정의된 경우, $\mathbb{Q}_\infty$의 존재는 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$의 渐近 행동이 $\mathbb{Q}_t[\Lambda_s]$의 수렴을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 타우버형 정리를 사용하여 라플라스 변환의 渐近 행동에서 $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$의 장기적 척도를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 제시된 조건 하에서 $t \to \infty$일 때 모든 $s \geq 0$ 및 $\Lambda_s \in \mathcal{F}_s$에 대해 $\mathbb{Q}_t[\Lambda_s] \to \mathbb{Q}_\infty[\Lambda_s]$가 성립하며, 한정 측도 $\mathbb{Q}_\infty$가 존재한다.
• 한정 측도 $\mathbb{Q}_\infty$는 $\mathbb{Q}_t$ 가족의 선택에 영향을 받지 않고 오직 $\mathbb{P}$에만 의존하는 $\sigma$-유한 측도 $\mathcal{Q}$에 대해 절대 연속이다.
• 모든 $t \to \infty$일 때 $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}] \sim D t^{-\alpha} \mathcal{Q}[\Gamma_\infty \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$의 渐近 행동이 성립하며, $D > 0$이다.
• 라플라스 변환 $\lambda^{1-\alpha} \int_0^\infty e^{-\lambda t} \mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}] \, dt$는 $\lambda \to 0^+$일 때 $K \mathcal{Q}[\Gamma_\infty \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$로 수렴하며, $K > 0$이다.
• 尾部 기여 $J(\lambda,\gamma)$는 $\gamma \to 0$일 때 소멸하여, 적분의 주요 기여가 $g_t^{[a]} \leq (1-\gamma)t$ 영역에서 온다는 것을 보장하며, 이는 타우버형 정리의 적용을 가능하게 한다.
• $\mathbb{Q}_\infty$의 존재는 $\mathbb{Q}_t[\Lambda_s] \to \mathcal{Q}[\Gamma_\infty \mathbf{1}_{\Lambda_s}] / \mathcal{Q}[\Gamma_\infty]$임을 보여줌으로써 보장되며, 이는 $\mathbb{Q}_\infty[\Lambda_s]$를 정의한다.