[논문 리뷰] On perverse homotopy $t$-structures, coniveau spectral sequences, cycle modules, and relative Gersten weight structures

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 기저 스킴 $S$ 위의 삼각 범주인 모티브 범주 $DM(S)$에 새로운 $t$-구조, $t_{\text{hom}}(S)$를 도입한다. 이는 체 위에서의 Voevodsky의 호모토피 $t$-구조와 이산 평가환수 위에서의 Ayoub의 펄스 호모토피 $t$-구조를 일반화한다. 이 구성은 Borel-Moore 모티브와 coniveau 스펙트럴 시퀀스에 기반하며, $t_{\text{hom}}(S)$의 하트가 $S$ 위의 사이클 모듈러스로 이루어져 있으며, comotives 위의 Gersten 무게 구조가 이를 별개의 기술로 제공할 것이라 추측된다.

ABSTRACT

We study the category $DM(S)$ of Beilinson motives (as described by Cisinski and Deglise) over a more or less general base scheme $S$, and establish several nice properties for a version $t_{hom}(S)$ of the perverse homotopy $t$-structure (essentially defined by Ayoub) for it. $t_{hom}(S)$ is characterized in terms of certain stalks of an $S$-motif $H$ and its Tate twists at fields over $S$; it is closely related to certain coniveau spectral sequences for the cohomology of (the Borel-Moore motives of) arbitrary finite type $S$-schemes. We conjecture that the heart of $t_{hom}(S)$ is given by cycle modules over $S$ (as defined by Rost); for varieties over characteristic $0$ fields this conjecture was recently proved by Deglise. Our definition of $t_{hom}(S)$ is closely related to a new effectivity filtration for $DM(S)$ (and for the subcategory of Chow $S$-motives in it). We also sketch the construction of a certain Gersten weight structure for the category of $S$-comotives; this weight structure yields one more description of $t_{hom}(S)$ and its heart.

연구 동기 및 목표

• 체와 이산 평가환수 위에서 알려진 $t$-구조를 일반 기저 스킴 $S$ 위에서 일반화하는 새로운 $t$-구조 $t_{\text{hom}}(S)$를 정의하는 것.
• 유한 유형의 $S$-스킴에 대한 Borel-Moore 모티브에 대한 coniveau 스펙트럴 시퀀스와 $t_{\text{hom}}(S)$의 관계를 규명하는 것.
• $t_{\text{hom}}(S)$의 하트가 Rost가 정의한 $S$ 위의 사이클 모듈러스 범주와 동치일 것이라는 추측을 제기하는 것.
• $S$-comotives 범주 $\mathfrak{D}(S)$ 위의 Gersten 무게 구조와 $t_{\text{hom}}(S)$의 관계를 설정하는 것.
• $\delta$-coniveau 필터링과 무게 스펙트럴 시퀀스를 통해 모티브 코hom올로지 연구를 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 모든 $S$-위의 체에서의 $H(i)[i]$의 스토크의 영성 조건을 통해 $t_{\text{hom}}(S)$를 정의하며, 이는 Voevodsky의 체 기반 정의를 일반화한다.
• 유한 유형의 $S$-스킴에 대한 Borel-Moore 모티브를 사용하여 관련 코hom올로지 데이터를 정의하고 coniveau 스펙트럴 시퀀스를 구성한다.
• 지지의 코드메이저에 따라 정렬되는 모티브 필터링을 보다 정교화하는 $\delta$-효율성 필터링을 도입한다.
• 효율적 카우프만 모티브의 이동을 생성자로 하는 $S$-comotives 범주 $\mathfrak{D}(S)$ 위에 Gersten 무게 구조 $w_{\text{Ger}}(S)$를 구성한다.
• $t_{\text{hom}}(S)$의 하트에 속한 대상의 코hom올로지가 coniveau 스펙트럴 시퀀스를 통해 쿠신즈 복합체를 계산함을 보여준다.
• $w_{\text{Ger}}(S)$-무게 스펙트럴 시퀀스와 $\delta$-coniveau 스펙트럴 시퀀스 사이의 비교를 실현 함의 사상에 의해 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체 위의 모티브에서의 호모토피 $t$-구조는 일반 기저 스킴 $S$ 위의 상대적 설정으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 Borel-Moore 모티브에 대한 coniveau 스펙트럴 시퀀스와 $DM(S)$ 위의 $t_{\text{hom}}(S)$-구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 $t_{\text{hom}}(S)$의 하트가 Rost가 정의한 $S$ 위의 사이클 모듈러스 범주와 동치일까, 이는 추측으로 제기된다.
• RQ4 $\mathfrak{D}(S)$ 위의 Gersten 무게 구조는 $t_{\text{hom}}(S)$-구조와 그 하트와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $\delta$-coniveau 스펙트럴 시퀀스는 comotives 위의 무게 구조로부터 유도될 수 있는가? 이는 모티브 코호몰로지에 대해 어떤 의미를 갖는다?

주요 결과

• $t_{\text{hom}}(S)$는 모든 $S$-위의 체에서 $H(i)[i]$의 스토크의 영성 조건으로 특징지어지며, 이는 Voevodsky의 체 기반 기준을 일반화한다.
• $S$가 완전체의 스펙트럼이라면, $t_{\text{hom}}(S)$는 Voevodsky의 호모토피 $t$-구조의 안정적 확장과 일치한다.
• $S$가 이산 평가환수 위에서 유한 유형이라면, $t_{\text{hom}}(S)$는 Ayoub의 펄스 호모토피 $t$-구조와 동치이다.
• $\mathcal{M}^{BM}_S(X)$의 코호몰로지에 $t_{\text{hom}}(S)$의 하트에 속한 대상의 계수를 취하면, coniveau 스펙트럴 시퀀스를 통해 쿠신즈 복합체가 계산된다.
• $S$-위의 체에서 $H(i)[i]$의 스토크 집합은 사이클 모듈러스의 핵심 공리들을 만족하며, 이는 $t_{\text{hom}}(S)$의 하트가 사이클 모듈러스의 범주일 것이라는 추측을 뒷받침한다.
• $\mathfrak{D}(S)$ 위에 Gersten 무게 구조를 구성하였으며, 적절한 조건 하에서 그의 무게 스펙트럴 시퀀스가 $\delta$-coniveau 스펙트럴 시퀀스를 계산하는 것으로 밝혀졌다.