[논문 리뷰] On Reeb graphs induced from smooth functions on closed or open manifolds

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 12.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 주어진 유한하고 순환하지 않는 연결 그래프를 닫힌 또는 열린 다양체 위의 매끄러운 함수의 Reeb 그래프로 실현하기 위한 구축 가능한 방법을 제시한다. 이 함수는 사전에 정해진 전이상(topology)과 온건한 특이점을 갖는다. 국소적인 모스 및 모스-보트 함수의 구성과 제어된 핸들 부착을 조합함으로써, 전이상이 각 간선에 대해 함수 l이 할당한 음이 아닌 정수에 따라 n차원 구에서 q개의 분리된 디스크를 제거한 꼴이 되는 (n+1)-차원 다양체 위에서 그러한 함수가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

For a smooth function on a smooth manifold of a suitable class, the space of all connected components of preimages is the graph and called the {\it Reeb graph}. Reeb graphs are fundamental tools in the algebraic and differential topological theory of Morse functions and more general functions which are not so wild. In this paper, we study whether we can construct a smooth function with good geometric properties inducing a given graph as the Reeb graph. This problem has been essentially launched by Sharko in 2000s and various answers have been given by Masumoto, Michalak, Saeki, and so on. Recently the author set a new explicit problem and gave an answer. In the studies before the result of the author, considered functions are smooth functions on closed surfaces or Morse functions such that preimages of regular values are disjoint unions of standard spheres. On the other hand, the author constructed a smooth function on a suitable $3$-dimensional closed, connected and orientable manifold inducing the Reeb graph isomorphic to the given graph such that preimages of regular values are arbitrary closed surfaces. Based on this result and method of the author, with several new ideas, we will consider smooth functions on surfaces and manifolds which may be non-closed and give answers to the problem.

연구 동기 및 목표

• 주어진 유한하고 연결되며 순환하지 않는 그래프가, 사전에 정해진 전이상과 함께 닫힌 또는 열린 다양체 위의 매끄러운 함수의 Reeb 그래프로 실현될 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 이전의 닫힌 다양체에 국한된 결과를 열린 다양체 또는 비닫힌 다양체로 확장하여, 전이상이 구의 분리된 합집합보다 더 일반적인 형태가 되도록 허용하는 것.
• 각 정규값의 전이상이 n차원 구에서 q개의 분리된 표준 디스크를 제거한 꼴이 되도록 하는 매끄러운 함수를 구성하는 것. 여기서 q는 간선에 대해 정의된 함수 l에 의해 할당된다.
• 함수의 특이점이 유한한 점들을 제외하고는 모두 온건한 특이점—즉, 모스 또는 모스-보트 특이점—으로 제한되는지 보장하는 것.
• 레벨 세트의 위상과 특이점의 성격을 명시적으로 제어할 수 있는 구축 가능하고 기하학적인 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 구성은 국소 조합 기반으로 진행된다: 그래프의 각 정점에 대해, (n+1)-차원 다양체 위에서 모스 또는 모스-보트 함수를 사용하여 국소 모델을 구축함으로써, 지역적으로 Reeb 공간이 그래프와 일치하도록 한다.
• 국소 극값이 없는 정점의 경우, 간격 위의 평탄한 매끄러운 범주를 사용하지만, 구에서 q개의 디스크를 제거함으로써 전이상 위상이 변화하는 적절히 선택된 국소 함수로 대체한다.
• 국소 극값이 있는 정점, 특히 l(e)=2인 차수 1의 정점의 경우, 디스크 위의 높이 함수와 직선의 곱을 이용한 구성 기법을 사용하여 국소 행동을 모델링한다.
• 함수 l은 각 간선에 음이 아닌 정수를 할당하여, 정규값의 전이상 위상에 따라 표준 n차원 구에서 제거되는 디스크의 수를 결정한다.
• 전체 함수는 그래프의 구조에 따라 이러한 국소 모델들을 접합하여 구성되며, 결과적으로 매끄럽고 주어진 Reeb 그래프를 유도하는 함수가 된다.
• 구성은 모든 유한한 특이점 이외의 점들에서 국소 함수가 모스 또는 모스-보트임을 보장하며, 극값에서는 이러한 함수의 복합체로 구성된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한하고 연결되며 순환하지 않는 그래프는 사전에 정해진 전이상과 함께 어떤 다양체 위의 매끄러운 함수의 Reeb 그래프로 실현될 수 있는가?
• RQ2 이러한 함수는 이전에 닫힌 다양체로 제한된 결과를 넘어서, 열린 또는 비닫힌 다양체 위에서도 구성될 수 있는가?
• RQ3 각 간선에 대해 음이 아닌 정수 q를 할당하여, 정규값의 전이상 위상을 제어할 수 있는가? 이는 n차원 구에서 제거되는 디스크의 수에 해당한다.
• RQ4 함수의 특이점은 유한한 점들을 제외하고는 모두 모스 또는 모스-보트 유형으로 제한될 수 있는가?
• RQ5 이러한 구성은 국소 모델과 접합 기법을 사용하여 명시적이고 기하학적인 방식으로 수행될 수 있는가?

주요 결과

• 유한하고 연결되며 순환하지 않는 그래프 G와 각 간선에 음이 아닌 정수를 할당하는 함수 l에 대해, (n+1)-차원의 연결되고 옹호된 다양체 M과 그 위의 매끄러운 함수 f:M→ℝ가 존재하여, 그 Reeb 그래프가 G와 동형임을 보장한다.
• 함수 l(e)=q인 간선 e에 대응하는 정규값의 전이상은 q개의 분리된 표준 n-디스크를 제거한 n차원 구와 위상동형이다. 여기서 q=0은 표준 n차원 구, q=1은 ℝ에 해당한다.
• Reeb 그래프의 구조는 위상동형 사상 φ:W_f→G를 통해 유지되며, 각 특이점 p가 정점 v로 사상될 때 f(p)=h(φ(v))를 만족한다.
• 모든 유한한 특이점 이외의 점들에서 국소 함수는 모스 또는 모스-보트이므로, 온건한 특이점 유형이 보장된다.
• 국소 극값에서 국소 함수는 모스, 모스-보트 또는 이러한 함수와 모스 함수의 복합체일 수 있으며, 특이점 유형에 대한 제어를 유지한다.
• 구성은 명시적이고 기하학적이며, 표준 범주와 높이 함수를 기반으로 한 국소 모델과 접합 기법을 사용하며, 이전의 결과를 열린 다양체와 비닫힌 다양체로 확장한다.