[논문 리뷰] On sums of Apéry polynomials and related congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 10.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 소수 $p^2$ 및 $p^5$ 모듈로에서 Apéry 다항식 $A_n(x)$ 및 관련 다항식 $W_n(x)$에 대한 새로운 합동식을 수립하며, 이는 모듈러 형식, 베르누이 수 및 오일러 수, 클래스 수 공식과 연결된다. 핵심 결과는 $p^2$ 모듈로에서 $A_k(x)$ 합과 소수를 $x^2 + y^2$ 또는 $x^2 + 2y^2$ 형태로 표현하는 것 사이의 깊은 연관성으로, 이는 $p \mod 4$ 또는 $p \mod 8$ 의 값에 따라 명시적인 합동식을 포함한다. 이러한 결과는 Beukers의 $A_{(p-1)/2} \mod p^2$ 에 대한 추측을 일반화하고 Sun 및 다른 이들의 추측을 확인한다.

ABSTRACT

The Apéry polynomials are given by $$A_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2x^k\ \ (n=0,1,2,\ldots).$$ (Those $A_n=A_n(1)$ are Apéry numbers.) Let $p$ be an odd prime. We show that $$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(x)\equiv\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^3}{16^k}x^k\pmod{p^2},$$ and that $$\sum_{k=0}^{p-1}A_k(x)\equiv\left(\frac xp ight)\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{4k}{k,k,k,k}}{(256x)^k}\pmod{p}$$ for any $p$-adic integer $x ot\equiv 0\pmod p$. This enables us to determine explicitly $\sum_{k=0}^{p-1}(\pm1)^kA_k$ mod $p$, and $\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k$ mod $p^2$ in the case $p\equiv 2\pmod3$. Another consequence states that $$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(-2)\equiv\begin{cases}4x^2-2p\pmod{p^2}&\mbox{if}\ p=x^2+4y^2\ (x,y\in\mathbb Z),\\0\pmod{p^2}&\mbox{if}\ p\equiv3\pmod4.\end{cases}$$ We also prove that for any prime $p>3$ we have $$\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)A_k\equiv p+\frac 76p^4B_{p-3}\pmod{p^5}$$ where $B_0,B_1,B_2,\ldots$ are Bernoulli numbers.

연구 동기 및 목표

• 소수의 $p^2$ 및 고차수 모듈로에서 Apéry 다항식 $A_n(x)$ 및 $W_n(x)$ 합에 대한 새로운 합동식을 수립하기 위해.
• 이 합을 소수의 산술적 성질, 특히 $x^2 + y^2$, $x^2 + 2y^2$, $x^2 + 3y^2$ 형태의 표현과 연결하기 위해.
• 저자 및 다른 이들의 $\sum_{k=0}^{p-1} A_k(x) \mod p^2$ 와 관련 합에 대한 추측을 확인하고 확장하기 위해.
• $A_k(x)$ 의 가중 합에 대한 $p$-진 값매김을 분석하고, 특히 $\frac{1}{n}\sum (2k+1)(-1)^k A_k(x)$ 를 고려하여 정수성 및 합동식에 대한 새로운 추측을 제시하기 위해.
• hypergeometric 유형의 합, 레지앙드 다항식, 그리고 모듈러 형식 사이의 연결 고리를 $p$-진 분석 및 조합 항등식을 통해 탐구하기 위해.

제안 방법

• 생성 함수와 초함수 항등식을 사용하여 $A_k(x)$ 합을 모듈러 형식, 특히 Dedekind 에타 함수와 $q$-급수를 통해 연결한다.
• 기존의 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^3}{m^k} \mod p^2$ 에 대한 합동식을 활용하여 다항식 변환을 통해 $A_k(x)$ 및 $W_k(x)$ 에 대한 새로운 합동식을 유도한다.
• 레지앙드 기호와 야코비 기호를 사용하여 $p \mod 4$, $p \mod 8$, $p \mod 3$ 기반으로 경우를 분류하고, 경우에 따라 다른 결과를 도출한다.
• $p$-진 값매김 기법을 사용하여 정규화된 합 $\frac{1}{n}\sum (2k+1)(-1)^k A_k(x)$ 의 정수성 및 합동성 성질을 분석한다.
• 기존의 베르누이 수 및 오일러 수에 대한 결과를 적용하여 $p^5$ 및 $p^6$ 모듈로에서 고차수 합동식을 표현한다.
• Apéry 다항식 및 $D_k(x)^3$ 을 포함하는 합의 $p$-진 값매김에 대한 추측을 제안하고, 작은 $n$ 과 $p$ 에 대해 수치적 검증을 통해 이를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $p$ 에 대해 $x = -2$ 또는 $x = 1/4$ 일 때 $\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(x) \mod p^2$ 의 합동식은 무엇이며, 이는 소수를 $p = x^2 + y^2$ 형태로 표현하는 것과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 $\sum_{k=0}^{p-1} A_k(x) \mod p^2$ 와 $\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(x) \mod p$ 의 합은 $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 에서 소수 $p$ 의 분할 행동에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)(-1)^k A_k(x)$ 의 $p$-진 값매김은 무엇이며, $\nu_p(n)$ 과 $\nu_p(4x-1)$ 와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $p$-진 수 $x$ 가 $x \equiv -2k \mod p$ 를 만족할 때, 합 $\sum_{r=0}^{p-1} (-1)^r \binom{x}{r}^{2n+1}$ 이 $p^2$ 모듈로에서 0이 되는 것으로 보일 수 있는가?
• RQ5 정규화된 합 $\frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)(-1)^k A_k(1/4)$ 의 구조는 무엇이며, 분모의 12 모듈로 및 $p$ 모듈로에서 분자의 합동식은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 홀수 소수 $p$ 에 대해 $\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(-2) \equiv \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(1/4) \mod p^2$ 이며, $p \equiv 1 \mod 4$ 이고 $p = x^2 + y^2$ 이며 $x$ 가 홀수일 경우 둘 다 $4x^2 - 2p$ 와 합동이며, $p \equiv 3 \mod 4$ 일 경우 0과 합동이다.
• $p > 3$ 이면 $\sum_{k=0}^{p-1} (2k+1) A_k \equiv p + \frac{7}{6}p^4 B_{p-3} \mod p^5$ 이며, 이는 합이 베르누이 수와 연결됨을 보여준다.
• $p > 3$ 이면 $\sum_{k=0}^{p-1} (2k+1) A_k(-1) \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) p - p^3 E_{p-3} \mod p^4$ 이며, 이는 합이 오일러 수와 연결됨을 보여준다.
• 모든 소수 $p$ 에 대해 $\sum_{k=0}^{p-1} (2k+1) \varepsilon^k A_k^m \equiv 0 \mod p$ 이며, $\varepsilon = \pm 1$ 이고 $m \in \mathbb{Z}^+$ 이다. 이는 $p$ 모듈로에서의 일반적인 소멸성을 보여준다.
• 정규화된 합 $s(n) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)(-1)^k A_k(1/4)$ 는 분모가 $2^{2\nu_2(n!)}$ 인 유리수 값을 가지며, 홀수 $n$ 에 대해 분자의 분모는 $1 \mod 12$ 와 합동이며, 짝수 $n$ 에 대해 $7 \mod 12$ 와 합동이다.
• $p$ 가 홀수 소수이고 $a \in \mathbb{Z}^+$ 이면 $s(p^a) \equiv t(p^a) \equiv 1 \mod p$ 이며, $s(3^a) \equiv 4 \mod 9$ 이고 $t(3^a) \equiv -8 \mod 243$ 이다.