[논문 리뷰] On the Approximate Nearest Neighbor Queries among Curves under the Fréchet Distance

Majid Mirzanezhad|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 17.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℝᵈ에서 연속 프리셰트 거리 하에 다각형 곡선 간의 근사 근접 이웃 검색(ANNS)을 위한 최초의 결정적 데이터 구조를 제안한다. k가 사전 처리 시에 알려져 있을 경우, 공간 복잡도가 n·O((√d/ε)ᵏᵈ)이고 쿼리 시간이 O(kd)인 (1+ε)δ-근사 쿼리를 달성하며, k가 쿼리에 포함될 경우 공간 복잡도가 O((1/ε)ᵐᵈ)가 되어, 상수 시간 응답으로 하위궤적 및 타임윈도우 쿼리를 효율적으로 지원한다.

ABSTRACT

Approximate near-neighbors search ( extsc{ANNS}) is a long-studied problem in computational geometry. %that has received considerable attention by researchers in the community. In this paper, we revisit the problem and propose the first data structure for curves under the (continuous) Fréchet distance in $\Reals^d$. Given a set $¶$ of $n$ curves of size at most $m$ each in $\Reals^d$, and a real fixed $δ>0$, we aim to preprocess $¶$ into a data structure so that for any given query curve $Q$ of size $k$, we can efficiently report all curves in $¶$ whose Fréchet distances to $Q$ are at most $δ$. In the case that $k$ is given in the preprocessing stage, for any $\eps>0$ we propose a deterministic data structure whose space is $n \cdot O\big(\max\big\{\big(\frac{\sqrt{d}}{\eps}\big)^{kd}, \big(\frac{\D\sqrt{d}}{\eps^2}\big)^{kd}\big\}\big)$ that can answer extsc{$(1+\eps)δ$-ANNS} queries in $O(kd)$ query time, where $\D$ is the diameter of $¶$. Considering $k$ as part of the query slightly changes the space to $n \cdot O\big(\frac{1}{\eps}\big)^{md} $ with $O(kd)$ query time within an approximation factor of $5+\eps$. We show that our generic data structure for ANNS can give an alternative treatment of the approximate subtrajectory range searching problem studied by de Berg et al. [8]. We also revisit the time-window data structure for spatial density maps in [6]. Given $θ>0$, and $n$ time-stamped points spread over $m$ regions in a map, for any query window $W$, we propose a data structure of size $O(n/\eps^2)$ and construction time $O((n+m)/\eps^2)$ that can approximately return the regions containing at least $θ$ points whose times are within $W$ in $O(1)$ query time.

연구 동기 및 목표

• 고차원 공간 ℝᵈ에서 곡선 간의 근사 근접 이웃 검색(ANNS)에 대한 오랜 도전 과제를 해결하기 위해.
• 모든 크기 k인 쿼리 곡선 Q에 대해 (1+ε)δ-근사 쿼리를 지원하는 결정적이고 효율적인 데이터 구조를 설계하기 위해.
• 근사 하위궤적 범위 검색(ASRS) 및 공간 밀도 맵을 위한 타임윈도우 쿼리와 같은 관련 문제들을 다룰 수 있도록 프레임워크를 확장하기 위해.
• 특히 시공간 데이터베이스에서 타임윈도우 데이터 구조에 대해 이전의 방법들보다 단순하고 효율적인 대안을 제공하기 위해.

제안 방법

• 시간과 위치 매개변수를 격자 기반 반올림을 통해 가능한 곡선 정렬 공간을 이산화하여 효율적인 검색을 가능하게 하는 데이터 구조를 제안한다.
• 반올림된 시간윈도우 기반으로 영역 또는 곡선 세그먼트를 색인화하기 위해 해시 테이블을 사용하여 상수 시간 쿼리 해결을 가능하게 한다.
• 쿼리 윈도우 [q₁, q₂]를 근처의 격자 기반 윈도우 W₁과 W₂로 변환하기 위해 반올림 기법을 적용하여 근사 오차를 제한한다.
• 반올림된 윈도우 W₁ ⊆ W₂에 대해 S₁ ⊆ S* ⊆ S₂라는 성질을 활용하여 (1+ε)-근사의 정확성을 보장한다.
• (ε, d, k)-네트와 격자 양자화를 통해 관련 곡선 정렬의 수를 제한하여 ANNS를 위한 공간 효율적인 구조를 설계한다.
• 메서드를 타임윈도우 데이터 구조에 통합하여, O(n/ε²)의 공간과 O((n+m)/ε²)의 구축 시간으로 O(1)의 쿼리 시간을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하위선형 공간과 효율적인 쿼리 시간을 갖는 ℝᵈ에서 연속 프리셰트 거리 하에 곡선 간의 ANNS를 위한 결정적 데이터 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 실용적인 공간과 쿼리 복잡도를 유지하면서 근사 요소를 (1+ε)δ로 제어할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법이 시공간 데이터베이스에서 근사 하위궤적 범위 검색(ASRS) 및 타임윈도우 쿼리를 지원하도록 확장될 수 있는가?
• RQ4 선형 크기의 데이터 구조와 하위선형 전처리 시간으로 타임윈도우 쿼리에 대해 상수 시간 응답을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• k가 사전 처리 시간에 알려져 있을 경우, 제안된 데이터 구조는 공간 복잡도가 n·O((√d/ε)ᵏᵈ)이고 쿼리 시간이 O(kd)인 (1+ε)δ-근사 ANNS 쿼리를 지원한다.
• k가 사전 처리 시에 고정되지 않을 경우 공간 복잡도는 n·O((1/ε)ᵐᵈ)로 증가하지만, 쿼리 시간은 여전히 O(kd)이며 근사 요소는 5+ε이다.
• 크기가 O(n/ε²)인 데이터 구조와 O((n+m)/ε²)의 구축 시간으로 타임윈도우 쿼리에 대해 O(1)의 쿼리 시간을 달성한다.
• 두 개의 격자 기반 반올림 윈도우 W₁과 W₂를 사용하여 S₁ ⊆ S* ⊆ S₂를 보장함으로써, 타임윈도우 쿼리에 대해 (1+ε)-근사의 프레임워크를 제공한다.
• 프리셰트 거리 하에서 이전의 랜덤화되거나 복잡한 방법들에 비해 단순하고 결정적인 대안을 제공한다.
• 연속 및 이산 프리셰트 거리 모두를 다룰 수 있도록 적응 가능하며, 비대칭 및 대칭 케이스를 모두 지원한다.