[논문 리뷰] On the approximation properties of bivariate $(p, q)-$Bernstein operators

Ali Karaisa|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 20.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 12인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $(p,q)$-미적분을 기반으로 한 이변수 $(p,q)$-베르슈타이너 연산자를 도입하고, 이의 근사 성질을 수립한다. 이는 바르노브스카자 유형의 점근 공식을 포함한다. 저자들은 연속성의 모듈러스와 리프시츠 유형 최대 함수를 사용하여 수렴 속도를 유도하며, $p_n$과 $q_n$에 적절한 조건이 만족될 경우 연산자가 목표 함수로 균일 수렴함을 증명한다. 핵심 결과는 함수의 이阶도 편미분을 바탕으로 한 수렴 속도를 나타내는 이계점 점근 전개이다.

ABSTRACT

In the present study, we have given a corrigendum to our paper on the approximation properties of bivariate $(p, q)-$Bernstein operators. Recently, we \cite{kar} have defined the bivariate $(p, q)-$Bernstein operators. Later, we have aware of Acar et. al \cite{acar} already have given some moments. In this case, we have revised \cite[Lemma 2.3]{kar}.

연구 동기 및 목표

• 이론적 $(p,q)$-미적분을 사용하여 이변수 연속 함수를 근사하기 위한 새로운 이변수 $(p,q)$-베르슈타이너 연산자를 정의한다.
• 코로빈의 수렴 정리 유형을 사용하여 제안된 연산자의 근사 성질을 조사한다.
• 연속성의 모듈러스와 리프시츠 유형 최대 함수를 통한 수렴 속도를 수립한다.
• 연산자의 수렴 행동을 특징짓는 바르노브스카자 유형의 점근 공식을 유도한다. 이는 $n \to \infty$일 때의 행동을 설명한다.
• 이전 연구에서 수정된 레이마 2.3을 보완하고, 아카르 등이 $(p,q)$-베르슈타이너 연산자의 모멘트에 대해 이전에 발표한 결과를 인정한다.

제안 방법

• 이변수 $(p,q)$-베르슈타이너 연산자는 $x$와 $y$에 대한 단변수 $(p,q)$-베르슈타이너 연산자의 곱으로 구성되며, $(p,q)$-정수와 이항계수를 사용한다.
• 연산자는 $p$-시프트 팩토리얼과 $p,q$-이항 전개를 포함하는 기저 함수 $R_{n,k}(p,q;x)$를 사용하여 정의된다.
• 코로빈의 정리를 적용하여 $[0,1]^2$에서 연산자 수열의 균일 수렴을 증명한다.
• 수렴 속도는 연속성의 모듈러스 $\omega(f;\delta)$와 리프시츠 유형 최대 함수 $\tilde{\omega}(f;\delta)$를 사용하여 추정된다.
• 함수 $f$의 두계점 테일러 전개를 통해 바르노브스카자 유형 정리를 수립하고, $[n]_{p_n,q_n} \left( B_n(f;x,y) - f(x,y) \right)$의 극한을 분석한다.
• 증명은 연산자의 모멘트를 계산하고 $n \to \infty$일 때의 극한을 취하는 데 의존하며, 이는 $p_n \to 1$, $q_n \to 1$, $p_n^n \to a$, $q_n^n \to a$를 가정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $(p,q)$-미적분을 사용하여 $(p,q)$-베르슈타이너 연산자의 이변수 확장이 정의될 수 있는가?
• RQ2 새로운 이변수 $(p,q)$-베르슈타이너 연산자의 균일 근사 성질은 무엇인가?
• RQ3 연산자의 수렴 속도는 무엇이며, 이는 함수의 미끄러움에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 연산자의 점근 행동은 $n \to \infty$일 때 어떻게 되며, 바르노브스카자 유형의 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 매개변수 $p_n$과 $q_n$은 수렴 속도와 극한 행동에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 조건 $p_n \to 1$, $q_n \to 1$, $p_n^n \to a$, $q_n^n \to a$ 하에서 이변수 $(p,q)$-베르슈타이너 연산자는 $[0,1]^2$에서 함수 $f$로 균일 수렴한다.
• 수렴 속도는 $O(\omega(f;\delta_n))$이며, $\delta_n = \sqrt{\frac{1}{[n]_{p_n,q_n}}}$이다. 여기서 $\omega$는 연속성의 모듈러스이다.
• 연산자는 바르노브스카자 유형의 점근 공식을 만족한다: $\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n} \left( B_n(f;x,y) - f(x,y) \right) = \frac{a(x - x^2)}{2} f_{xx}^{\prime\prime}(x,y) + \frac{a(y - y^2)}{2} f_{yy}^{\prime\prime}(x,y)$.
• $[n]_{p_n,q_n}^2$ 곱한 두 번째 모멘트 항의 극한은 유한한 값을 가진다: $\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n}^2 A_{1,n} = 3a$, $\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n}^2 A_{2,n} = -6a$, $\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n}^2 A_{3,n} = 3a$.
• $\varepsilon(s,t)$를 포함하는 나머지 항은 코시-슈바르츠 부등식과 $(s,t) \to (x,y)$일 때 $\varepsilon(s,t) \to 0$라는 사실에 의해 극한에서 사라진다.
• 이 논문은 저자들이 이전에 발표한 논문에서 수정된 레이마 2.3을 보완하며, 아카르 등이 $(p,q)$-베르슈타이너 연산자의 모멘트에 대해 이전에 발표한 결과를 인정한다.