[논문 리뷰] On the complexity of Commuting Local Hamiltonians, and tight conditions for Topological Order in such systems

Dorit Aharonov, Lior Eldar|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 03.

Quantum many-body systems참고 문헌 7인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 큐비트 및 큐트리트에 대한 3-로컬 상호작용을 갖는 유사 유클리드(NE) 격자에 통합된 교환 지역 하미르تون리안(CLH) 문제의 NP 소속성을 입증하며, 이는 지배 상태에 국소적 얽힘만 존재함을 의미한다. 주요 기여는 날카로운 양자 상전이를 증명하는 데 있다: 이러한 시스템에서는 위상적 순서가 불가능하지만, 4-로컬 상호작용 또는 고차원 큐디트를 사용할 경우 가능해지며, 이는 키타에프의 토릭 코드가 교환 하미르톤리안을 통한 위상적 순서 실현에 있어 최적임을 시사한다.

ABSTRACT

The local Hamiltonian problem plays the equivalent role of SAT in quantum complexity theory. Understanding the complexity of the intermediate case in which the constraints are quantum but all local terms in the Hamiltonian commute, is of importance for conceptual, physical and computational complexity reasons. Bravyi and Vyalyi showed in 2003, using a clever application of the representation theory of C*-algebras, that if the terms in the Hamiltonian are all two-local, the problem is in NP, and the entanglement in the ground states is local. The general case remained open since then. In this paper we extend the results of Bravyi and Vyalyi beyond the two-local case, to the case of three-qubit interactions. We then extend our results even further, and show that NP verification is possible for three-wise interaction between qutrits as well, as long as the interaction graph is embedded on a planar lattice, or more generally, "Nearly Euclidean" (NE). The proofs imply that in all such systems, the entanglement in the ground states is local. These extensions imply an intriguing sharp transition phenomenon in commuting Hamiltonian systems: 3-local NE systems based on qubits and qutrits cannot be used to construct Topological order, as their entanglement is local, whereas for higher dimensional qudits, or for interactions of at least 4 qudits, Topological Order is already possible, via Kitaev's Toric Code construction. We thus conclude that Kitaev's Toric Code construction is optimal for deriving topological order based on commuting Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 2-로컬 경우를 초월하여 3-로컬 상호작용의 경우에 대해 교환 지역 하미르톤리안(CLH) 문제의 계산 복잡도를 해결하는 것.
• 교환 하미르톤리안 시스템에서 위상적 순서가 나타나는 정확한 조건을 규명하는 것.
• 평면 또는 유사 유클리드 격자에서 3-로컬 상호작용만을 갖는 시스템에서 위상적 순서가 가능할 수 있는지 확인하는 것.
• 교환 하미르톤리안 시스템에서 국소적 얽힘과 위상적 순서 사이의 날카로운 임계점(Threshold)을 설정하는 것.
• 키타에프의 토릭 코드 구조가 교환 하미르톤리안을 통한 위상적 순서 실현에 있어 상호작용 크기와 큐디트 차원 측면에서 최적임을 증명하는 것.

제안 방법

• C*-대수의 표현 이론을 활용하여, 2003년 브라비와 비알리의 2-로컬 교환 하미르톤리안의 NP 소속성 결과를 큐비트 및 큐트리트에 대한 3-로컬 상호작용로 확장한다.
• 평면 격자 통합을 일반화하기 위해 '유사 유클리드(NE)' 그래프 개념을 도입하여, 이러한 그래프에서의 3-로컬 시스템에 대한 NP 검증 확장을 가능하게 한다.
• 라이브-로빈슨 경계와 국소성 추론을 사용하여, 심지어 평면 격자에서도 상수 깊이 양자 회로로는 위상적 순서 상태를 생성할 수 없음을 보인다.
• 토릭 코드 하미르톤리안을 토르스에서 4-로컬이고 3-방향으로 상호작용하는 특수한 경우로 분석하고, 이를 경계가 있는 평면 격자에서의 CLH(3,4) 인스턴스로 재해석한다.
• 회로 하한을 적용하여, 위상적 순서 상태를 생성하는 데 필요한 모든 회로는 깊이 최소 Ω(√n)이어야 하며, 상수 깊이 회로로는 이러한 하미르톤리안을 대각화할 수 없음을 증명한다.
• k < 3 또는 d < 4일 경우 상수 깊이 대각화가 가능하지만, k ≥ 4 또는 d ≥ 4일 경우 불가능하며, 이는 날카로운 임계점(Threshold)을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큐비트 및 큐트리트에 대한 3-로컬 상호작용을 갖는 교환 지역 하미르톤리안 문제의 NP 소속성은 무엇인가?
• RQ2 평면 또는 유사 유클리드 격자에서 3-로컬 상호작용만을 갖는 교환 하미르톤리안 시스템에서 위상적 순서가 존재할 수 있는가?
• RQ3 교환 하미르톤리안 시스템에서 위상적 순서를 실현하기 위해 필요한 최소 상호작용 크기와 큐디트 차원은 무엇인가?
• RQ4 키타에프의 토릭 코드 구조는 교환 하미르톤리안을 통한 위상적 순서 실현에 있어 상호작용 국소성과 큐디트 차원 측면에서 최적인가?
• RQ5 양자 회로의 깊이와 교환 하미르톤리안 시스템에서 위상적 순서 상태를 생성할 수 있는 능력 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 큐비트 및 큐트리트에 대한 유사 유클리드 격자에서의 3-로컬 교환 하미르톤리안 문제의 NP 소속성은 지배 상태에 국소적 얽힘만 존재함을 의미한다.
• 평면 또는 유사 유클리드 격자에서 3-로컬 교환 하미르톤리안 시스템에서는 위상적 순서를 실현할 수 없으며, 이러한 시스템은 비국소적 얽힘을 지탱할 수 없다.
• 4-로컬 상호작용 또는 큐디트 차원 d ≥ 4를 갖는 시스템에서는 위상적 순서가 가능하며, 이는 토릭 코드 구조에 의해 입증된다.
• 토릭 코드 하미르톤리안은 경계가 있는 평면 격자에서의 3-방향 상호작용 CLH(3,4) 인스턴스로 재해석될 수 있으며, 이는 CLH 프레임워크 내에서의 실현 가능성을 확인한다.
• 제품 상태에서 위상적 순서 상태를 생성하는 데 필요한 모든 양자 회로는 깊이 최소 Ω(√n)이어야 하며, 이는 상수 깊이 회로로는 이러한 하미르톤리안을 대각화할 수 없음을 증명한다.
• 국소적 얽힘에서 위상적 순서로의 전이가 날카롭게 이루어진다: k < 3 또는 d < 4일 경우 상수 깊이 대각화가 가능하고 위상적 순서가 불가능하며, k ≥ 4 또는 d ≥ 4일 경우 불가능하므로, 토릭 코드의 최적성은 확인된다.