[논문 리뷰] On the infinity of infinities of orders of the infinitely large and infinitely small

Leonhard Euler, Jordan Bell|ArXiv.org|2009. 05. 14.

Mathematical Dynamics and FractalsMathematics인용 수 20

한 줄 요약

Euler는 무한히 많은 크기의 무한과 무한소의 순서가 존재하는지 조사하며, 어떤 두 개의 무한대 또는 무한소 양 사이에, 그 크기가 얼마나 멀리 떨어져 있든 간에 항상 그 사이에 무한히 많은 중간 순서가 존재함을 보여준다. 기하급수적 수열과 고차 초월함수—특히 로그 함수와 지수함수—를 사용하여, 유한한 계층 구조를 넘어서 새로운, 서로 다른 무한대와 무한소의 순서가 나타남을 입증함으로써, 무한대의 스펙트럼이 단지 무한하기만 한 것이 아니라 복잡성 면에서도 끝이 없이 확장됨을 보였다.

ABSTRACT

Translation (by J.B.) from the original Latin of Euler's "De infinities infinitis gradibus tam infinite magnorum quam infinite parvorum" (1780). E507 in the Eneström index. Euler discusses orders of infinity in this paper. In other words this paper is about how different functions approach infinity or 0 at different rates. I was not certain about what Euler means by "infinities infiniti". Probably he means that $x,x^2,x^3$, etc. are infinitely many orders of infinity, and $\log x,(\log x)^2, (\log x)^3$, etc. are infinitely many orders of infinity, so the combinations of them are an infinity of infinities of orders of infinity. In fact Euler mentions other orders of infinity in this paper. It would be worthwhile to study this paper more to figure out exactly what Euler means here. Another translation of the title is "On the infinitely infinite orders of the infinitely large and infinitely small". Here's another place Euler uses the phrase "infinities infiniti". The phrase "infinities infiniti" from the title is used by Euler also in section 21 of E302, "De motu vibratio tympanorum". Truesdell translates this phrase on p. 333 of "The rational mechanics of flexible or elastic bodies" as "infinity of infinities". I'd like to thank Martin Mattmueller for clearing up some questions.

연구 동기 및 목표

• 무한대 개념이 단일한 실체가 아니라 무한히 많은 서로 다른 크기 순서로 이루어져 있음을 입증하는 것.
• 어떤 두 개의 무한대 또는 무한소 양 사이, 심지어 기하급수적 수열에서도 항상 그 사이에 무한히 많은 중간 순서가 존재함을 보여주는 것.
• 고차 분석—특히 로그 함수와 지수함수—가 다항식 또는 거듭제곱 기반 계층에서 포착되지 않는 새로운 무한대와 무한소의 순서를 생성함을 보여주는 것.
• 무한소와 무한대의 맥락에서 초월함수를 포함하는 적분의 점근적 행동을 엄밀히 분석하는 것.
• 특히 미적분학과 해석학의 맥락에서 무한대의 순서가 무한히 확장됨을 이해하는 데 있어 기존 수학의 개념적 공백을 해소하는 것.

제안 방법

• 무한대인 $x$를 갖는 기하급수적 수열 $1, x, x^2, x^3, \ldots$를 사용하여, 각 항이 이전 항보다 무한히 크고 다음 항보다 무한히 작다는 것을 보여준다.
• 재귀적 치환을 적용: $x = y^{1000}$이라면 $y = \sqrt[1000]{x}$ 역시 무한대이므로, 1과 $y^{1000} = x$ 사이에 또 다른 1000개의 중간 순서를 만들 수 있으며, 이는 무한히 반복될 수 있다.
• 로그 함수와 지수함수를 새로운 순서의 근원으로 도입: 무한대인 $x$에 대해 $\log x$는 무한대이지만, 어떤 유한한 $n$에 대해서도 $x^{1/n}$보다 무한히 작다.
• 무한소인 $x$에 대해 $\int \frac{x^n}{e^{\alpha/x^\beta}} dx$ 형태의 적분을 분석하여, $\frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{n+\beta+1}}{e^{\alpha/x^\beta}}$와 같은 닫힌 형태의 결과를 도출함으로써, 이러한 표현이 새로운, 서로 다른 무한소의 순서를 정의함을 보여준다.
• 로그 미분을 사용하여 $\log(1/x)$와 $e^{\alpha/x^\beta}$를 포함하는 함수의 미분형식을 유도함으로써, 이전에는 초월함수로 간주되던 표현들을 통합할 수 있도록 한다.
• 고차항으로서 $x^m \log^n x / e^{\alpha/x^\beta}$가 포함된 경우에도 적분이 $\frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{k+\beta+1} u^m}{v}$ 형태로 표현 가능함을 보여주며, 새로운 순서를 위한 일관된 프레임워크가 존재함을 드러낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1과 무한대 양 $x$ 사이에, $x$가 무한대일 때, 그 사이에 무한히 많은 서로 다른 무한대의 순서가 존재할 수 있는가?
• RQ2 로그 함수와 지수함수는 표준 거듭제곱 기반 계층에서 표현되지 않는 새로운 무한대 또는 무한소의 순서를 생성하는가?
• RQ3 초월함수인 $e^{\alpha/x^\beta}$를 포함하는 적분이 다항식 또는 유리형태를 넘어서 새로운, 서로 다른 무한소의 순서를 생성할 수 있는가?
• RQ4 각각 이전보다 무한히 작지만 다음보다는 무한히 큰 무한소의 계층을 구성하는 것이 가능한가?
• RQ5 곡선 $y = x^n e^{-\alpha/x^\beta}$로 정의된 영역의 면적에 대한 분석적 표현이 존재하는가? 이러한 표현이 새로운 무한소의 순서를 드러내는가?

주요 결과

• 무한대인 $x$를 갖는 기하급수적 수열 $1, x, x^2, \ldots$의 임의의 두 항 사이에는, 지수의 차이가 1000으로 고정되어 있더라도 항상 무한히 많은 중간 순서의 무한대가 존재한다.
• 만약 $x = y^{1000}$이라면 $y = \sqrt[1000]{x}$ 역시 무한대이므로, 1과 $x$ 사이에 또 다른 1000개의 중간 순서를 만들 수 있으며, 이 과정은 무한히 반복될 수 있다.
• 모든 무한대인 $x$에 대해 $\log x$는 무한대이지만, 어떤 유한한 $n$에 대해서도 $x^{1/n}$보다 무한히 작다. 이는 로그 성장이 별개의, 더 낮은 무한대의 순서를 정의함을 입증한다.
• 무한소인 $x$에 대해 $\int \frac{x^n}{e^{\alpha/x^\beta}} dx = \frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{n+\beta+1}}{e^{\alpha/x^\beta}}$라는 등식이 성립함을 보여주며, 이러한 표현이 새로운, 서로 다른 무한소의 순서를 정의함을 입증한다.
• 만약 $y = \frac{a x^n}{e^{\alpha/x^\beta}}$라면, 곡선 아래 면적은 $\int y dx = \frac{1}{\alpha\beta} x^{\beta+1} y$로 닫힌 형태로 표현되며, 이는 새로운 종류의 무한소 양을 드러낸다.
• 로그 항인 $\log(1/x)$가 포함된 경우에도, 적분 $\int \frac{x^k u^m}{e^{\alpha/x^\beta}} dx$는 여전히 $\frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{k+\beta+1} u^m}{e^{\alpha/x^\beta}}$ 형태로 표현 가능하며, 이는 일관되고 무한히 확장되는 무한소의 계층이 존재함을 확인한다.