[논문 리뷰] On the nature of the conformable derivative and its applications to physics

Douglas R. Anderson, Evan Camrud외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 03.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 36인용 수 50

한 줄 요약

이 논문은 Khalil과 Katugampola의 conformable 도함수가 differentiable 함수에 대해 간단한 변수 변화 u = x^α/α 와 동등하다는 것을 보이고, 그로 얻어지는 수학적 구조와 물리적 해석을 탐구하며 양자역학, 자기수임성, Sturm–Liouville 문제, 적분 변환에 초점을 맞춘다.

ABSTRACT

The purpose of this work is to show that the Khalil and Katagampoula conformable derivatives are equivalent to the simple change of variables $x$ $ ightarrow $ $x^{α}/α,$ where $α$ is the order of the derivative operator, when applied to differential functions. Although this means no extquotedblleft new mathematics extquotedblright\ is obtained by working with these derivatives, it is a second purpose of this work to argue that there is still significant value in exploring the mathematics and physical applications of these derivatives. This work considers linear differential equations, self-adjointness, Sturm-Liouville systems, and integral transforms. A third purpose of this work is to contribute to the physical interpretation when these derivatives are applied to physics and engineering. Quantum mechanics serves as the primary backdrop for this development.

연구 동기 및 목표

• 비정수 차수 미분 계산에 표준 미분방정식 기법을 적용하기 위한 유용한 도구로서 컨포머블 도함수 연구의 동기를 부여한다.
• 컨포머블 도함수가 변수 변화와 동등하다는 것을 보여주며, 이것이 새로운 수학을 낳지 않지만 가치 있는 물리적 해석과 응용을 제공함을 보여준다.
• 컨포머블 미분방정식에 대한 미적분학, 자기수임성, 스펙트럼 이론 프레임워크를 개발한다.
• 컨포머블 적분 변환, 특히 푸리에 변환을 연구하고 양자역학에서 물리적 단위와 공간 해석을 논의한다.

제안 방법

• 컨포머블 도함수 D^α 를 x^{1-α} d/dx 로 정의하고 체인 룰을 통해 이를 u = x^α/α 의 변수 변화와_related지은다.
• 일반적인 2차 미분방정식을 u 변수로 컨포머블 형태로 변환하여 SOLDE를 컨포머블 SOLDE로 매핑하는 방법을 제시한다.
• 자기수임 컨포머블 연산자 Â_{2α} = d/dx [x^{1-α} d/dx] 를 도출하고 경계 조건 y(0)=y(1)=0 에서의 Sturm–Liouville 고유문제를 연구한다.
• 컨포머블적 유사인 베셀 방정식과 수렴형 초특수함수 방정식의 아날로그를 구성하고 분석하며 명시적 컨포머블 형태와 해를 제시한다.
• 컨포머블 Sturm–Liouville 이론을 도입하고 스펙트럼, 고유함수, 일반화된 J_n^{(α)} 함수의 스케일링 성질을 논의한다.
• 컨포머블 변환, 특히 푸리에 변환을 개발하고 관련 역변환과 컨포머블 라플라스 변환과의 관계를 개략한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컨포머블 도함수 D^α 가 미분가능 함수에 대해 간단한 x→u 변수 변화 아래에서 일반적인 미분 구조와 같은가?
• RQ2 컨포머블 프레임워크가 자기수임성, Sturm–Liouville 문제, 스펙트럼 이론에 어떤 변화를 일으키는가?
• RQ3 고전 특수함수(예: 베셀, 에어리) 의 컨포머블 대응은 무엇이며, 그 성질(근, 스케일링)은 α 에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 컨포머블 적분 변환(Fourier, Laplace) 를 어떻게 구성하고 물리적으로 해석할 수 있는가, 특히 양자역학에서?

주요 결과

• 컨포머블 도함수는 미분가능 함수에 대해 간단한 변수 변화 u = x^α/α 와 동등하다.
• 자기수임 컨포머블 연산자 Â_{2α} = d/dx [x^{1-α} d/dx] 는 명시적 고유함수와 고유값을 갖는 자연스러운 컨포머블 Sturm–Liouville 계를 제공한다.
• 컨포머블 베셀 방정식은 표준 베셀 함수를 수정된 인수로 표현한 컨포머블 베셀 함수로 이끌고, 그 SOLDE 는 x^{2}-타입의 독립 변수 변환에 대응한다.
• 직교화된 컨포머블 고유함수의 가족 J_n^{(α)}(x) 은 사인 함수들을 일반화하고 0≤x≤1에서 완전한 기저를 형성하며, 영점과 스케일링은 α 에 의존한다.
• 푸리에-베셀급의 컨포머블 유사체와 Kummer/0F1 관계는 새로운 기저를 고전적 특수함수와 연결한다.
• 컨포머블 Sturm–Liouville 연산자와 경계값 문제는 명시적 형태의 해를 갖는 풀이 가능한 고유값 문제를 제공하며, α 매개변수가 스펙트럼과 고유함수를 어떻게 조절하는지 보여준다.
• 컨포머블 푸리에 변환 프레임워크를 개발하여 양자역학적 해석과 호환되는 대칭적 순방향 및 역변환을 가능하게 한다.