[논문 리뷰] On the p-adic cohomology of the Lubin-Tate tower

Peter Scholze|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 루빈-타이트 타워의 $p$-진 코호몰로지 via, $\mathrm{GL}_n(F)$의 적합한 $p$-진 표현에서 $\mathrm{Gal}_F \times D^\times$의 적합한 $p$-진 표현으로의 정규 함수를 수립한다. 여기서 $D$는 불변량 $1/n$을 가진 중심 분할 대수이다. 핵심 결과는 $\mathbb{P}^{n-1}_{\breve{F}}$ 상의 관련 층의 코호몰로지의 유한성과 갈루아 불변성으로, 이는 국소 $p$-진 랑글랜드 상호관계를 실현하고 카라얀디-에머튼-지-제라티-패스쿠나-신의 패치링 구축과의 국소-글로벌 호환성을 검증한다.

ABSTRACT

We prove a finiteness result for the p-adic cohomology of the Lubin-Tate tower. For any n>=1 and p-adic field F, this provides a canonical functor from admissible p-adic representations of GL_n(F) towards admissible p-adic representations of Gal_F x D^*, where Gal_F is the absolute Galois group of F, and D/F is the central division algebra of invariant 1/n. Moreover, we verify a local-global-compatibility statement for this correspondence, and compatibility with the patching construction of Caraiani-Emerton-Gee-Geraghty-Paskunas-Shin.

연구 동기 및 목표

• 루빈-타이트 타워의 $p$-진 코호몰로지 via, $\mathrm{GL}_n(F)$-표현에서 $\mathrm{Gal}_F \times D^\times$-표현으로의 정규 함수를 구축한다.
• 카라얀디-에머튼-지-제라티-패스쿠나-신의 글로벌 패치링 구축과의 국소-글로벌 호환성을 수립한다.
• 코호몰로지 군이 적합하고 연속적인 갈루아 작용을 가지며, 위일 군 작용을 연장함을 확인한다.
• $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$를 초월하여 $p$-진 국소 랑글랜드 상호관계에 대한 증거를 제공하고, $p$-진 자크에-랑글랜드 상호관계를 포함한다.
• 라포포르트-지크 공간과 주기 도메인의 맥락에서 루빈-타이트 타워와 그 주기 사상의 기하학적 및 표현론적 구조를 명확히 한다.

제안 방법

• 스무스한 $\mathrm{GL}_n(F)$-표현 $\pi$를 $\mathbb{F}_p$-벡터 공간 위에서 정의된 Weil-불변 층 $\mathcal{F}_\pi$를 $\mathbb{P}^{n-1}_{\breve{F}}$ 상에 구성한다.
• 그로스-호프킨스 주기 사상 $\pi_{\mathrm{GH}}: \mathcal{M}_{\mathrm{LT},\infty} \to \mathbb{P}^{n-1}_{\breve{F}}$을 사용하여 $\mathcal{F}_\pi$를 루빈-타이트 타워의 역극한으로 당긴다.
• $p$-진 에탈 코호몰로지의 유한성 결과를 적용하여, $H^i_{\acute{e}t}(\mathbb{P}^{n-1}_C, \mathcal{F}_\pi)$가 유한차원이고 $i > 2(n-1)$일 때는 영이 됨을 보인다.
• 코호몰로지 군이 $D^\times$-작용을 적합하게 가지며, 위일 강하 데이터를 통해 $\mathrm{Gal}_F$-작용으로 연속적으로 연장됨을 수립한다.
• $\mathbb{P}^{n-1}$의 완비성과 주기 사상의 전성으로 코호몰로지의 유한성을 확보한다.
• 랩오포르트의 접근 가능하고 약한 접근 가능 주기 도메인 이론(부록)을 활용하여 주기 도메인의 구조와 크리스탈린 주기 사상에 의한 그의 상의 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루빈-타이트 타워의 $p$-진 코호몰로지가 $\mathrm{GL}_n(F)$-표현에서 $\mathrm{Gal}_F \times D^\times$-표현으로의 정규 함수를 유도하는가?
• RQ2 결과적으로 얻어진 코호몰로지가 적합하고, 위일 군 작용을 연속적으로 연장하는 갈루아 작용과 호환되는가?
• RQ3 이 구축이 카라얀디-에머튼-지-제라티-패스쿠나-신의 글로벌 패치링 구축과 국소-글로벌 호환성을 만족하는가?
• RQ4 이 구축은 $\mathrm{GL}_n(F)$와 $D^\times$-표현 사이의 $p$-진 자크에-랑글랜드 상호관계로 해석될 수 있는가?
• RQ5 크리스탈린 주기 사상의 상이 주기 도메인의 적합한 지역과 일치하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $H^i_{\acute{e}t}(\mathbb{P}^{n-1}_C, \mathcal{F}_\pi)$는 $\breve{F}$의 대수적으로 닫힌 완비 확장 $C$의 선택에 관계없이 일정하며, $i > 2(n-1)$일 때는 영이 된다.
• $i \geq 0$인 모든 $i$에 대해, $H^i_{\acute{e}t}(\mathbb{P}^{n-1}_{\mathbb{C}_p}, \mathcal{F}_\pi)$는 $D^\times$-표현으로서 적합하다.
• 위일 군 $W_F$의 코호몰로지 위 작용은 절대 갈루아 군 $\mathrm{Gal}_F$-작용으로 연속적으로 연장된다.
• 이 구축은 $\mathrm{GL}_n(F)$-표현에서 $\mathrm{Gal}_F \times D^\times$-표현으로의 정규 함수를 제공하며, $p$-진 국소 랑글랜드 상호관계를 실현한다.
• 이 상호관계는 패치링 구축과 호환된다: $n=2$일 때, 패치링 구축을 이 함수와 조합하면 원래 갈루아 표현을 복원할 수 있으며, 이는 정리 9.3에서 보여진다.
• 지역 셰이머 바이어티가 EL 또는 PEL 유형의 RZ 공간에서 유래할 경우, 크리스탈린 주기 사상의 상은 주기 도메인의 적합한 지역 $\mathcal{F}(G,b,\{\mu\})^{\rm a}$와 일치한다.