[논문 리뷰] On the Parameter Estimation in the Schwartz-Smiths Two-Factor Model

Karol Binkowski, Peilun He외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 04.

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance참고 문헌 16인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 칼만 필터를 사용하여 샤츠-스미스 이중 요인 모델의 공동 파라미터 추정 방법을 제안하며, 우도 함수에서 발생하는 파라미터 식별 문제를 해결하기 위해 추가 제약 조건을 도입한다. 이 방법은 모델 파라미터와 관측되지 않는 상태 변수에 대해 일致한 조건부 최대우도추정량(Conditional MLEs)을 도출하며, 시뮬레이션 연구를 통해 강인성과 수렴성을 입증한다.

ABSTRACT

The two unobservable state variables representing the short and long term factors introduced by Schwartz and Smith in [16] for risk-neutral pricing of futures contracts are modelled as two correlated Ornstein-Uhlenbeck processes. The Kalman Filter (KF) method has been implemented to estimate the short and long term factors jointly with un- known model parameters. The parameter identification problem arising within the likelihood function in the KF has been addressed by introduc- ing an additional constraint. The obtained model parameter estimates are the conditional Maximum Likelihood Estimators (MLEs) evaluated within the KF. Consistency of the conditional MLEs is studied. The methodology has been tested on simulated data.

연구 동기 및 목표

• 이중 요인 모델의 파라미터를 추정할 때 칼만 필터 우도 함수에서 발생하는 파라미터 식별 문제를 해결하기 위해.
• 관측되지 않는 단기 및 장기 요인($\chi_t$, $\xi_t$)과 모델 파라미터($\kappa$, $\gamma$, $\mu_\xi$, $\sigma_\chi$, $\sigma_\xi$, $\rho_{\chi\xi}$)를 공동으로 추정하는 방법을 개발하기 위해.
• 칼만 필터 프레임워크 내에서 조건부 최대우도추정량(MLEs)의 일치성을 확보하기 위해.
• 위험 중립 이중 요인 모델 하에서 시뮬레이션 자료를 사용하여 제안된 추정 방법론을 검증하기 위해.

제안 방법

• 스팟 가격의 로그를 $\log(S_t) = \chi_t + \xi_t$로 모델링하며, $\chi_t$와 $\xi_t$는 상관관계가 있는 옹스테인-울렌벡 과정이다.
• 관측되지 않는 상태 벡터 $x_t = (\chi_t, \xi_t)^\top$를 갖는 부분 관측 선형 상태공간 모델로 시스템을 수립한다.
• 조건부 최대우도추정량을 통해 상태 변수와 모델 파라미터를 동시에 추정하기 위해 칼만 필터 알고리즘을 구현한다.
• 분산-공분산 구조의 식별 불가능성으로 인해 발생하는 파라미터 식별 문제를 해결하기 위해 우도 함수에 추가 제약 조건을 도입한다.
• MLE 추정의 수렴성과 안정성을 향상시키기 위해 초기 파라미터 탐색을 위한 격자 탐색을 사용한다.
• 이중 O-U 과정의 동역학에 기반하여 위험 중립 측도 하에서 상태 벡터의 조건부 평균과 공분산에 대한 해석적 표현을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 칼만 필터는 샤츠-스미스 이중 요인 모델에서 관측되지 않는 상태 변수와 모델 파라미터를 공동으로 추정하기 위해 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 이 모델의 칼만 필터 우도 함수에서 발생하는 파라미터 식별 문제를 해결하기 위해 필요한 제약 조건은 무엇인가?
• RQ3 유도된 조건부 최대우도추정량(MLEs)이 모델 파라미터와 상태에 대해 일치하는가?
• RQ4 시뮬레이션에서 다양한 파라미터 설정과 표본 크기 하에서 공동 추정 절차의 강인성은 어떠한가?
• RQ5 격자 탐색 초기화의 수렴성과 MLE의 정확한 추정에 대한 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 추가 제약 조건을 통해 칼만 필터 우도 함수에서 발생하는 파라미터 식별 문제를 성공적으로 해결하며, 모델 파라미터와 관측되지 않는 상태를 공동으로 추정할 수 있게 한다.
• 제안된 프레임워크 하에서 모델 파라미터와 상태 벡터 $x_t = (\chi_t, \xi_t)^\top$에 대한 조건부 MLEs가 일치하는 것으로 나타났다.
• 시뮬레이션 결과는 격자 탐색 초기화가 안정적이고 정확한 파라미터 추정을 달성하는 데 효과적임을 보여준다.
• 표본 크기가 증가할수록 추정된 파라미터가 진짜 값에 수렴함을 확인하여 추정량의 일치성을 입증한다.
• 제약 조건이 부여된 칼만 필터는 시뮬레이션 자료에서 상품 선도 가격의 기간 구조를 효과적으로 재현한다.