[논문 리뷰] On time inhomogeneous stochastic Itô equations with drift in $L_{d+1}$

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 A.V. 스토로코호드의 영감을 받은 방법을 사용하여, 유일하게 비타당하고 유계인 분산과 $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$에 속하는 비율에 대해 시간에 따라 변하지 않는 이토 스토케스틱 미분방정식에 대한 약한 해의 존재성을 확립한다. 주요 기여는 비율에 대한 임계 적분 조건 하에서의 가역성 증명으로, 이는 이전 결과를 확장하며 시간에 따라 변하지 않는 설정에서 이러한 특정한 $L_{d+1}$ 조건에 대해 처음으로 얻어진 결과로 보인다.

ABSTRACT

We prove the solvability of Itô stochastic equations with uniformly nondegenerate, bounded, measurable diffusion and drift in $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$. Actually, the powers of summability of the drift in $x$ and $t$ could be different. Our results seem to be new even if the diffusion is constant. The method of proving the solvability belongs to A.V. Skorokhod. Weak uniqueness of solutions is an open problem even if the diffusion is constant.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하지 않는 이토 스토케스틱 미분방정식에 대해 비율이 $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$에 속할 때의 가역성을 확립하는 것.
• 비율이 $L_{d+1}$에 속할 수 있도록 허용함으로써 기존의 비정규 비율에 대한 SDE 결과를 확장하는 것.
• 유계이고 측정 가능한 분산과 $L_{d+1}$ 비율을 가진 이러한 방정식과 관련된 강한 마르코프 과정의 존재를 증명하는 것.
• 기존의 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} \leq 1$ 조건과 다름을 두고, 시간과 공간에서 다른 적분 가능 차수를 允許하는 조건 하에서 SDE의 가역성을 다루는 것.

제안 방법

• 약한 해의 존재성을 증명하기 위해 A.V. 스토로코호드의 영감을 받은 방법을 사용한다.
• A.I. 나자로프의 PDE 기반 작업에서 유래한 기법을 따르며, 반마르코프 과정 분포에 대한 새로운 혼합 노름 추정을 적용한다.
• 마르코프 체계 이론과 반콤팩티아를 활용하여, 해로부터 강한 마르코프 과정을 구성한다.
• 마르코프 과정을 구성하는 데 기초가 되는 SDE의 해 존재성(정리 3.1)에 의존한다.
• B-체계의 정의와 측도의 수렴을 사용하여 구성된 과정의 마르코프 성질을 검증한다.
• 생성자 $L$ 을 통한 마르코프 과정 특성화를 위해 마르코프 문제 공식화를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비율이 $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$에 속할 때, 시간에 따라 변하지 않는 이토 SDE에 대해 약한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 분산이 일정하고 비율만 $L_{d+1}$에 속할 경우, 가역성 결과가 유지되는가?
• RQ3 $p=q=d+1$ 인 조건 $\frac{d}{p} + \frac{1}{q} \leq 1$ 이 가역성에 충분한가? 이는 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} > 1$ 인 경우에도 성립하는가?
• RQ4 비율이 $L_{d+1}$이고 유계 측정 가능한 분산을 가진 이러한 SDE에 대해 강한 마르코프 과정을 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 조건 하에서 해의 약한 유일성은 보장되는가, 아니면 여전히 열린 문제인가?

주요 결과

• 논문은 비율 $b$ 가 $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$ 에 속할 때, 심지어 분산이 일정할 경우라도 SDE (1.2)에 대한 약한 해의 존재성을 증명한다.
• 가역성 결과는 A.V. 스토로코호드의 접근에 뿌리를 두고 있으며, 반마르코프 과정 분포에 대한 혼합 노름 추정을 사용한다.
• 정리 6.1에서, $\sigma$ 가 유계이고 측정 가능하며 $b \in L_{d+1}$ 인 SDE와 관련된 강한 마르코프 과정의 존재성이 증명된다.
• $p=q=d+1$ 인 조건 $\frac{d}{p} + \frac{1}{q} \leq 1$ 이 가역성에 충분함이 입증되었으며, 이는 기존의 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} \leq 1$ 영역을 벗어나도 성립한다.
• 해의 약한 유일성은 여전히 열린 문제이며, 분산이 일정할 경우에도 마찬가지다.
• 해당 방법은 하올더 연속성 또는 하르나크 유형 추정을 요구하지 않으며, 최소한의 적분 가능성 조건 하에서 존재성과 마르코프 성질에 중점을 둔다.