[논문 리뷰] Operations on derived moduli spaces of branes

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 브레인의 유도 모듈리 공간—공간 $ S $ 에서 유도 대수적 스택 $ X $ 로의 사상들—이 코스판을 통해 $ S $ 에 대해 자연스러운 연산을 지닌다는 것을 증명한다. 이는 $ \infty $-오페라드를 사용하여 이러한 작용을 형식화한다. 주요 결과는 유도 분해 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ 에 자연스러운 $ \mathcal{O} $-작용을 제공하며, 이는 고차 형식성 추측의 증명과 $ E_2 $-구조를 통한 다중 Hochschild 코homology와 다항벡터 장 사이의 관계를 제시하는 Kapustin의 추측에 대한 긍정적인 답변을 이끈다.

ABSTRACT

The main theme of this work is the study of the operations that naturally exist on moduli spaces of maps $Map(S,X)$, also called the space of branes of $X$ with respect $S$. These operations will be constructed as operations on the (quasi-coherent) derived category $\D(Map(S,X))$, in the particular case where $S$ has some close relations with an operad $\OO$. More precisely, for an $\s$-operad $\OO$ and an algebraic variety $X$ (or more generally a derived algebraic stack), satisfying some natural conditions, we prove that $\OO$ acts on the object $\OO(2)$ by mean cospans. This universal action is used to prove that $\OO$ acts on the derived category of the space of maps $Map(\OO(2),X)$, which will call the brane operations. We apply the existence of these operations, as well as their naturality in $\OO$, in order to propose a sketch for a proof of the \emph{higher formality conjecture}, a far reaching extension of Konstevich's formality's theorem. By doing so we present a positive answer to a conjecture of Kapustin (see \cite[p. 14]{kap}), relating polyvector fields on a variety $X$ and deformations of the mono/"i dal derived category $\D(X)$.

연구 동기 및 목표

• 도메인 $ S $ 의 자동형사상에 독립적인 $ \mathrm{Map}(S,X) $ 의 유도 분해에서의 자연스러운 연산을 코스판을 통해 형식화하는 것.
• 특히 $ \infty $-오페라드를 통해 단순한 입력 데이터로부터 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(S,X)) $ 에 대한 흥미로운 연산을 체계적으로 생성하는 방법을 구축하는 것.
• 유도된 프레임워크를 적용하여 고차 형식성 추측을 증명하고, Konstevich의 형식성 정리가 고차원으로 확장됨을 보이는 것.
• 모노이드적 유도 분해 범주의 변형 이론과 $ E_2 $-구조를 통한 이동된 다항벡터 장과의 관계를 제시하는 Kapustin의 추측에 대해 긍정적인 답변을 제공하는 것.

제안 방법

• 코스판을 통한 $ \infty $-오페라드와 유도 대수기하학을 사용하여, $ \infty $-오페라드 $ \mathcal{O} $ 가 $ \mathcal{O}(2) $ 에 대해 보편적인 작용을 정의한다.
• 브레인 작용으로 불리는, $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ 에 대한 $ \mathcal{O} $ 의 보편적 작용을 구축한다.
• $ E_k $-오페라드의 형식성 응용을 통해 $ \mathbb{P}_k $-대수와 $ E_k^u $-대수 사이의 관계를 설정하고, $ HH^{\mathbb{P}_k}(X) $ 와 $ HH^{E_k^u}(X) $ 사이의 동치를 유도한다.
• dg-리 대수에서 $ E_1 $-대수의 분류 공간 함자 $ B $ 를 사용하여 Hochschild 코hom로의 연결을 리 대수의 구조로 연결하고, dg-리 대수 간의 동치를 확립한다.
• Segal 조건과 $ B $ 와 $ \Omega $ 사이의 $ \infty $-카테고리적 수반관계를 활용하여 $ B $ 가 $ E_1(\mathbf{dgl}) $ 에서 동치임을 증명하고, Hochschild 코hom로를 다항벡터 장과 식별할 수 있도록 한다.
• $ \alpha: \mathbb{P}_k \simeq E_k^u $ 의 동치를 적용하여 이동된 다항벡터 장과 이동된 반복 Hochschild 코hom로 사이의 dg-리 대수 간 동치를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브레인의 유도 모듈리 공간에서의 연산은 도메인 $ S $ 의 자동형사상에 독립적으로 어떻게 형식화될 수 있는가?
• RQ2 코스판이 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(S,X)) $ 에 자연스러운 내함수를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $ S $ 에서의 코스판에 대한 $ \infty $-오페라드 구조는 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ 에 보편적 작용을 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 이러한 연산의 존재는 다항벡터 장과 반복 Hochschild 코hom로 사이의 고차 형식성 정리로 이어지는가?
• RQ5 $ HH^{E_2}(X) $ 에 존재하는 $ E_2 $-구조는 이동된 다항벡터 장의 구조와 동치인 자연스러운 dg-리 대수의 구조를 유도하는가? 이는 Kapustin의 추측을 확인하는가?

주요 결과

• $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ 는 $ \mathcal{O}(2) $ 에서의 코스판을 통해 $ \infty $-오페라드 $ \mathcal{O} $ 의 보편적 작용을 지닌다.
• $ k > 1 $ 인 경우, 등가 $ \alpha: \mathbb{P}_k \simeq E_k^u $ 는 다음의 보편적 동치를 유도한다: $ \mathbb{R}\Gamma(X,\mathrm{Sym}_{\mathcal{O}_X}(\mathbb{T}_X[-k]))[k] \simeq HH^{E_k}(X)[k] $.
• $ HH^{E_2}(X) $ 에 존재하는 $ E_2 $-구조는 $ HH^{E_2}(X)[1] $ 에 dg-리 대수의 구조를 유도하며, 이는 다항벡터 장의 Schouten 괄호와 동치이다.
• $ E_1(\mathbf{dgl}) $ 에서의 분류 공간 함자 $ B: E_1(\mathbf{dgl}) \to \mathbf{dgl} $ 는 $ \infty $-카테고리 간의 동치이며, 이는 $ E_1 $-대수를 그 기초 dg-리 대수와 식별할 수 있도록 한다.
• $ \alpha^* $ 는 dg-리 대수로의 忘却 함자를 보존하므로, Hochschild 코hom로에서의 $ \mathbb{P}_k $-와 $ E_k^u $-대수의 구조 간 호환성을 보장한다.
• 결과적으로 Kapustin의 추측이 확인된다: 매끄러운 다양체 $ X $ 에 대해, 이동된 Hochschild 코호몰로지 $ HH^{E_2}(X)[1] $ 는 Schouten 괄호를 지닌 이동된 다항벡터 장의 복합체와 quasi-isomorphic하다.