[논문 리뷰] $p$-adic Distance, Finite Precision and Emergent Superdeterminism: A Number-Theoretic Consistent-Histories Approach to Local Quantum Realism

T. N. Palmer|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 24.

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한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 거리 체계를 사용하여 상태공간 궤적의 수론적 제약에서 자연스럽게 초래되는 초과결정성(superdeterminism)을 포함하는 국소적 원인론적이고 현실적인 양자 이론—불변집합 이론(Invariant Set Theory)—을 제안한다. 코사인과 같은 초월함수의 유한 비트 기술을 재해석함으로써, 실험자 자유의지가 침해되지 않으면서도 벨 부등식 위반을 설명하는 모델을 제공하며, 측정 문제와 양자 중력에 대한 새로운 비음성적 해결책을 제시한다.

ABSTRACT

Although the notion of superdeterminism can, in principle, account for the violation of the Bell inequalities, this potential explanation has been roundly rejected by the quantum foundations community. The arguments for rejection, one of the most substantive coming from Bell himself, are critically reviewed. In particular, analysis of Bell's argument reveals an implicit unwarranted assumption: that the Euclidean metric is the appropriate yardstick for measuring distances in state space. Bell's argument is largely negated if this yardstick is instead based on the alternative $p$-adic metric. Such a metric, common in number theory, arises naturally when describing chaotic systems which evolve precisely on self-similar invariant sets in their state space. A locally-causal realistic model of quantum entanglement is developed, based on the premise that the laws of physics ultimately derive from an invariant-set geometry in the state space of a deterministic quasi-cyclic mono-universe. Based on this, the notion of a complex Hilbert vector is reinterpreted in terms of an uncertain selection from a finite sample space of states, leading to a novel form of `consistent histories' based on number-theoretic properties of the transcendental cosine function. This leads to novel realistic interpretations of position/momentum non-commutativity, EPR, the Bell Theorem and the Tsirelson bound. In this inherently holistic theory - neither conspiratorial, retrocausal, fine tuned nor nonlocal - superdeterminism is not invoked by fiat but is emergent from these `consistent histories' number-theoretic constraints. Invariant set theory provides new perspectives on many of the contemporary problems at the interface of quantum and gravitational physics, and, if correct, may signal the end of particle physics beyond the Standard Model.

연구 동기 및 목표

• 양자 기초학계에서 널리 기각되는 초과결정성을 양자역학의 타당한 기초로 재평가하는 것.
• 상태공간에서 유클리드 거리 체계를 $p$-진 거리 체계로 대체함으로써 국소적 현실주의와 벨 부등식 위반 간의 갈등을 해결하는 것.
• 양자역학이 결정론적이고 프랙탈 상태공간 기하학의 특별한 극한으로 나타나며, 국소적 원인론을 유지하는 이론을 개발하는 것.
• 유한한 실험 정밀도와 수론적 불일치를 기반으로 하여 양자 비국소성과 실험자 자유의지를 조화시키는 것.
• 양자 중력과 어두운 에너지가 결정론적· quasi-주기적 우주의 상태공간 내 불변집합 기하학에서 유도된다는 제안

제안 방법

• 상태공간에서 거리 체계로 유클리드 거리 체계 대신 $p$-진 거리 체계를 기본 척도로 사용한다.
• 우주의 진화를 결정론적· quasi-주기적 시스템으로 모델링하며, 자기 유사성과 불변집합 $I_U$ 위에서 일어나며, 이 집합은 국소적으로 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{R}$와 위상동형이며, 여기서 $\mathbb{Z}_2$는 2-진 정수이다.
• 양자 상태를 $2^N$-비트 문자열의 유한한 표본공간에서의 불확실한 선택으로 표현하며, 복소 힐베르트 벡터를 코사인 함수의 수론적 성질과 연결한다.
• 특히 $\cos\phi$와 $\phi/\pi$의 비트 기반 유한 기술 가능성을 수론적 제약 조건으로 적용하여 상호 배타적인 일관된 역사들(consistent histories)을 정의한다.
• 프랙탈 매개변수 $N \to \infty$로의 특별한 극한에서 슈뢰딩거 및 디랙 방정식을 도출하며, 양자역학은 결정론적· 유한 정밀도 동역학의 극한으로 나타난다.
• 혼돈적 riddled-basin 역학을 통해 양자 탈코herence를 모델링하며, 궤적이 불변집합 위에서 측정 고유상태로 자연스럽게 군집하게 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태공간의 거리 체계를 유클리드에서 $p$-진으로 재정의할 경우, 초과결정성이 비음성적 방식으로 양자 비국소성의 설명이 될 수 있는가?
• RQ2 세부 조정이나 후행 원인론 없이도 국소적 현실주의를 유지하면서도 벨 부등식 위반을 설명할 수 있는가?
• RQ3 결정론적 양자이론 내에서 유한한 실험 정밀도가 실험자 자유의지를 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 코사인과 같은 초월함수의 수론적 성질이 양자역학의 구조와 일관된 역사들에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 양자 중력과 어두운 에너지가 결정론적· 프랙탈 상태공간 불변집합의 기하학적 구조에서 기인할 수 있는가?

주요 결과

• 벨 부등식 위반은 비국소성이나 음성적 공모 때문이 아니라, 거의 항상 상호 배타적인 $\cos\phi$와 $\phi/\pi$의 유한 비트 기술 가능성 간의 수론적 불일치에서 기인한다.
• 유한 정밀도로 인해 $\cos\phi$가 유한하게 기술 가능한지 여부를 직접 제어할 수 없기 때문에 실험자 자유의지는 유지되며, 결정론적 이론임에도 불구하고 결과는 통계적으로 예측 불가능하다.
• 복소 힐베르트 공간과 관련된 슈뢰딩거/디랙 방정식은 프랙탈 매개변수 $N \to \infty$로의 특별한 극한에서 유도되며, 유한한 $N$은 결정론적· 이산적 이론에 해당한다.
• 양자 탈코herence는 혼돈적 riddled-basin 역학에 의해 설명되며, 궤적이 불변집합 위에서 군집하여 측정 고유상태의 물리적 기초를 형성한다.
• 우주상수는 진공 플럭츄에이션이 중력에 결합하지 않기 때문에 자연스럽게 작다—이는 불변집합의 프랙탈· 측도 0의 기하학적 구조에서 기인하며, 120계단의 오차 문제를 피한다.
• 이 이론은 표준모델을 넘어서는 입자물리학의 종말을 암시한다. 입자(중력자 포함)는 존재하지 않으며, 대신 중력은 프랙탈 상태공간 다양체 위에서 군집화 현상으로 기인하는 기하학적 현상이다.