[논문 리뷰] Parametric Furstenberg Theorem on Random Products of $SL(2, \mathbb{R})$ matrices

Anton Gorodetski, Victor Kleptsyn|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 03.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 54인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $SL(2,\mathbb{R})$ 행렬의 랜덤 곱에 대한 푸르스텐베르크의 정리의 매개변수화된 판본을 수립하며, 단조성 매개변수 의존성 하에서 상한 리아푸노프 지수는 모든 매개변수에서 양수임을 증명한다 (푸르스텐베르크의 정리에 따라), 반면 하한 리아푸노프 지수는 하우스도르프 차원이 0인 조밀한 $G_\delta$ 집합에서 0이 된다. 이 방법은 일차원 슈뢰딩거 연산자에 대한 스펙트럼 앤더슨 국소화에 대한 기하적 증명을 제공한다.

ABSTRACT

We consider random products of $SL(2, \mathbb{R})$ matrices that depend on a parameter in a non-uniformly hyperbolic regime. We show that if the dependence on the parameter is monotone then almost surely the random product has upper (limsup) Lyapunov exponent that is equal to the value prescribed by the Furstenberg Theorem (and hence positive) for all parameters, but the lower (liminf) Lyapunov exponent is equal to zero for a dense $G_δ$ set of parameters of zero Hausdorff dimension. As a byproduct of our methods, we provide a purely geometrical proof of Spectral Anderson Localization for discrete Schrödinger operators with random potentials (including the Anderson-Bernoulli model) on a one dimensional lattice.

연구 동기 및 목표

• SL(2,\\mathbb{R}) 설정에서 랜덤 행렬 곱에 대한 푸르스텐베르크 정리의 매개변수 확장을 수립하기 위해.
• 단조성 의존성 하에서 매개변수의 함수로서 상한 및 하한 리아푸노프 지수의 행동을 분석하기 위해.
• 상한 지수는 여전히 양수이지만, 하한 리아푸노프 지수가 조밀한 $G_\delta$ 집합에서 0이 되는 매개변수 집합의 성질을 증명하기 위해.
• 이 방법을 적용하여 1차원 격자 위의 이산 슈뢰딩거 연산자에 대한 스펙트럼 앤더슨 국소화에 대한 순수 기하적 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• 매개변수 $\alpha$ 에 대해 단조적으로 의존하는 행렬을 갖는 랜덤 행렬 곱을 분석하기 위해.
• 원환면 사상의 업그레이드와 반복 코시클의 기하적 추론을 사용하여 행렬 곱의 성장률을 제어하기 위해.
• 전이 행렬의 반복 작용에 대한 새로운 귀납적 추론을 사용하여, 궤도의 왜곡과 분리 정도를 추적하기 위해.
• 하한 지수의 0이 되지 않음을 보이기 위해, $\tilde{G}_{\alpha,n,\omega}(x) - \tilde{G}_{-\alpha,n,\omega}(x)$ 의 차이에 하한을 설정하기 위해.
• $SL(2,\mathbb{R})$ 코시클의 구조와 원환면 위에서의 프로젝티브 작용의 역학을 활용하여 균일한 추정치를 도출하기 위해.
• 푸르스텐베르크의 원래 정리에 의해 모든 매개변수에서 상한 리아푸노프 지수가 유지됨을 이용하고, 하한 지수는 잔여 집합 추론을 통해 0임을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SL(2,\\mathbb{R}) 행렬 곱의 단조 매개변수 가중 가중치에서 상한 리아푸노프 지수가 모든 매개변수에서 양수로 유지될 수 있는가?
• RQ2 하한 리아푸노프 지수가 0이 되는 매개변수의 집합의 구조는 어떠한가?
• RQ3 매개변수화된 푸르스텐베르크 정리를 사용하여 랜덤 슈뢰딩거 연산자에서 스펙트럼 국소화를 확립할 수 있는가?
• RQ4 확률론적 또는 스펙트럼이론적 도구를 피한 기하적 증명이 앤더슨 국소화에 존재하는가?
• RQ5 매개변수에서의 단조성이 랜덤 행렬 곱의 리아푸노프 스펙트럼에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 매개변수에서 상한(상한극한) 리아푸노프 지수는 푸르스텐베르크 값 $\lambda_F > 0$ 와 일치한다. 이는 푸르스텐베르크의 정리에 의해 보장된다.
• 하한(하한극한) 리아푸노프 지수는 하우스도르프 차원이 0인 조밀한 $G_\delta$ 집합의 매개변수에서 0이다.
• 개발된 기하적 방법은 1차원 앤더슨-버누엘 모델과 더 일반적인 랜덤 잠재력에 대해 스펙트럼 앤더슨 국소화에 대한 순수 기하적 증명을 가능하게 한다.
• 이 증명은 코시클 작용 하에서 궤도의 분리 정도에 대한 균일한 하한을 구성함으로써, 왜곡 추정치와 $\mathbb{R}$ 위의 업그레이드 역학을 사용한다.
• 결과적으로, 상한과 하한 리아푸노프 지수 사이의 뚜렷한 대비가 매개변수 가중치 가중치에서조차 나타나며, 상한 지수가 연속적이고 양수일지라도 그렇다.
• 이 방법은 유한한 랜덤 곱에 적용 가능하며, 핵심 기술적 추정치를 제공한다: 충분히 큰 $n$ 에 대해 $\tilde{G}_{\alpha,n,\omega}(x_v) - \tilde{G}_{-\alpha,n,\omega}(x_v) > 1$ 이 성립하며, 이는 비자명한 성장임을 의미한다.