[논문 리뷰] Performance of QAOA on Typical Instances of Constraint Satisfaction Problems with Bounded Degree

Cedric Yen-Yu Lin, Yechao Zhu|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 08.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 8인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 제한된 차수를 가진 제약 만족 문제(CSPs)의 일반적인 인스턴스에서 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)이 제약 조건의 $\mu + \Omega(1/\sqrt{D})$ 분율을 만족하는 할당을 효율적으로 생성할 수 있음을 보여준다. 여기서 $\mu$는 무작위 할당에서 기대되는 비율이며 $D$는 각 변수가 포함된 제약 조건의 최대 수이다. 이 결과는 Max-$k$ XOR 및 Max-$k$ SAT 등의 CSP에 대해 형식적인 '일반성'의 개념을 적용할 수 있으며, 성능의 분산이 작다.

ABSTRACT

We consider constraint satisfaction problems of bounded degree, with a good notion of "typicality", e.g. the negation of the variables in each constraint is taken independently at random. Using the quantum approximate optimization algorithm (QAOA), we show that $ μ+Ω(1/\sqrt{D}) $ fraction of the constraints can be satisfied for typical instances, with the assignment efficiently produced by QAOA. We do so by showing that the averaged fraction of constraints being satisfied is $ μ+Ω(1/\sqrt{D}) $, with small variance. Here $ μ$ is the fraction that would be satisfied by a uniformly random assignment, and $ D $ is the number of constraints that each variable can appear. CSPs with typicality include Max-$ k $XOR and Max-$ k $SAT. We point out how it can be applied to determine the typical ground-state energy of some local Hamiltonians. We also give a similar result for instances with "no overlapping constraints", using the quantum algorithm. We sketch how the classical algorithm might achieve some partial result.

연구 동기 및 목표

• 제약 조건의 부정이 각각 독립적으로 무작위로 선택되는 조건에서, 제약 만족 문제(CSPs)의 '일반성'에 대한 형식적 개념을 설정하기 위해.
• QAOA가 이러한 일반적인 인스턴스에서 $\mu + \Omega(1/\sqrt{D})$의 제약 조건 비율을 만족하는 할당을 효율적으로 생성할 수 있음을 증명하기 위해.
• 이 양자적 우월성이 작은 분산을 보이며, 일반적인 인스턴스 전반에서 성능이 안정적임을 보여주기 위해.
• 제약 조건이 겹치지 않는 경우에 대한 결과를 확장하고, 기존의 고전적 알고리즘과 비교하기 위해.

제안 방법

• 각 제약 조건에서 변수의 부정이 독립적으로 무작위로 선택되는 조건을 일반성으로 정의하여, 인스턴스 간 통계적 균일성을 보장하기 위해.
• 각 제약 조건의 다항식 표현에서 최고 차수의 항들만 포함하는 절단된 해밀토니안을 사용한 QAOA 프레임워크를 적용하기 위해.
• 다항식 분해(정리 1)를 사용하여 각 제약 조건을 $\pm1$ 값을 가진 변수에 대한 단항식의 합으로 표현하기 위해.
• 제약 조건 간 계수의 독립성과 농도 경계를 적용하여 QAOA 目적 함수의 기대값을 분석하기 위해.
• 조건부 기대값과 분산 분석을 활용하여 기대 우월성이 $\Omega(1/\sqrt{D})$ 비율로 증가함을 보여주기 위해.
• 다항식의 농도에 관한 정리 8을 적용하여, 만족하는 제약 조건 수가 평균에서 벗어나는 확률을 제한하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QAOA는 제한된 차수의 CSP에 대한 일반적인 인스턴스에서 무작위 할당 대비 $\Omega(1/\sqrt{D})$의 성능 우월성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 일반성이 QAOA 성능이 평균 주변에 집중되어 있음을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 절단된 해밀토니안을 사용한 QAOA 역시 여전히 $\Omega(1/\sqrt{D})$의 우월성을 보이며, 전체 해밀토니안을 사용한 경우와 비교해 어떤가?
• RQ4 고전적 알고리즘이 같은 종류의 일반적인 CSP에서 유사한 $\Omega(1/\sqrt{D})$의 우월성을 달성할 수 있는가?
• RQ5 예를 들어, 겹치는 제약 조건이 없는 등의 구조적 조건에서는 QAOA가 여전히 유의미한 우월성을 제공하는가?

주요 결과

• 제한된 차수의 일반적인 CSP 인스턴스에서 QAOA는 $\mu + \Omega(1/\sqrt{D})$의 제약 조건 비율을 만족하는 할당을 생성한다. 여기서 $\mu$는 무작위 할당의 기준이다.
• 만족하는 제약 조건 수의 분산이 작아, 일반적인 인스턴스 전반에서 높은 확률로 안정된 성능을 보장한다.
• Max-$k$ XOR 및 Max-$k$ SAT에 대해서도 일반성 조건 하에서 이 결과가 적용되며, QAOA 안식에서의 양자 간섭이 이 우월성을 유도한다.
• 절단된 해밀토니안 접근법은 QAOA 기대값에 대한 주요 기여를 포괄하며, 고차수 항들은 오직 $O(1/\sqrt{D})$ 기여를 한다.
• Barak 등이 제안한 고전적 알고리즘 역시 일부 경우에서 $\Omega(1/\sqrt{D})$의 우월성을 달성할 수 있지만, 양자적 접근은 더 일반적이며 구조적 가정이 필요하지 않다.
• 수치적 증거는 전체 해밀토니안을 사용할 경우 $\Omega(1/\sqrt{D})$ 항의 상수 계수를 향상시킬 수 있음을 시사하지만, 점근적 스케일링은 그대로 유지된다.