[논문 리뷰] Polyvector fields and polydifferential operators associated with Lie pairs

Ruggero Bandiera, Mathieu Stiénon외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 14.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 62인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Lie 쌍 (L, A)와 관련된 다항벡터장 및 다항미분 연산자에 대한 Chevalley–Eilenberg 코hom로지 복합체가 구축된 Fedosov dg Lie 대수oid에서의 호모토피 전이를 통해 자연스러운 L∞-대수 구조를 지닌다는 것을 증명한다. 이러한 구조들은 코homology에 고유한 Gerstenhaber 대수 구조를 유도하며, 평탄한 다양체나 분할 기하학적 맥락에서 자연스러운 dgla 또는 L∞-대수 구조가 존재하지 않는 문제를 해결하면서 Kontsevich의 형식성 정리의 일반화를 실현한다.

ABSTRACT

We prove that the spaces tot (Γ(λ•A)⊗Rt•polly;) and tot (Γ(λ•A)⊗RD•polly;) associated with a Lie pair (L,A) each carry an L∞algebra structure canonical up to an L1 isomorphism with the identity map as linear part. These two spaces serve, respectively, as replacements for the spaces of formal polyvector fields and formal polydifferential operators on the Lie pair (L,A). Consequently, both H•CE(A t•polly;) and H•CE(A D•polly;) admit unique Gerstenhaber algebra structures. Our approach is based on homotopy transfer and the construction of a Fedosov dg Lie algebroid (i.e. a dg foliation on a Fedosov dg manifold).

연구 동기 및 목표

• 일반적인 Lie 쌍에 대해 다항벡터장 및 다항미분 연산자에 대한 코체인 복합체에 자연스러운 dgla 또는 L∞-대수 구조가 존재하지 않는 문제를 해결하기 위해.
• Kontsevich의 형식성 정리를 Lie 쌍의 맥락으로 일반화하기 위해 관련 코homology 복합체에 자연스러운 L∞-대수 구조를 구성하기 위해.
• Chevalley–Eilenberg 코homology 군 H•_CE(A, T•_poly) 및 H•_CE(A, D•_poly)가 고유한 Gerstenhaber 대수 구조를 지닌다는 것을 증명하기 위해.
• 원래 복합체로의 L∞-구조 전이를 가능하게 하는 기하적 프레임워크—Fedosov dg Lie 대수oid—를 개발하기 위해.
• 분할 기하학 및 복소다양체와 같은 비자명한 기하적 맥락으로 형식성 정리를 확장하기 위해 Lie 쌍 형식론을 활용하기 위해.

제안 방법

• L[1] ⊕ L/A의 계량화된 다양체 M에 Fedosov dg 다양체 구조를 구성하고, Lie 쌍 기하학을 코딩하는 호모로지 벡터장 Q를 정의한다.
• Fedosov dg 다양체 위에 자연스러운 dg 적분 가능 분포 F ⊂ TM를 정의하여, F → M 형태의 Fedosov dg Lie 대수oid을 유도한다.
• Dolgushev–Fedosov 수축 기법을 적용하여 F 위의 다항벡터장 및 다항미분 연산자의 자연스러운 dgla 구조를 원래 복합체로 전이한다.
• L∞-대수의 호모토피 전이 정리를 적용하여 tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R T•_poly) 및 tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R D•_poly)에 자연스러운 L∞-대수 구조를 유도한다.
• 유도된 L∞-구조가 항등사상 부분을 가진 L∞-동형사상에 대해 유일하다는 것을 증명한다.
• 일치하는 쌍의 Lie 대수oid에 대해 이론을 적용하여 복소기하학 및 분할 기하학에서 알려진 구조를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lie 쌍 (L, A)와 관련된 다항벡터장 및 다항미분 연산자에 대한 코체인 복합체에 그들의 결합 곱과 호환되는 자연스러운 L∞-대수 구조를 부여할 수 있는가?
• RQ2 Chevalley–Eilenberg 코homology 군 H•_CE(A, T•_poly) 및 H•_CE(A, D•_poly)는 고유한 Gerstenhaber 대수 구조를 지닌다?
• RQ3 Fedosov dg Lie 대수oid을 통한 기하적 구성은 어떤 Lie 쌍 (L, A)에 대해 다항벡터장과 다항미분 연산자 사이의 형식성을 실현하는가?
• RQ4 이 복합체에 대한 L∞-대수 구조는 변형 양자화 이론의 알려진 형식성 정리와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 구성은 일치하는 쌍의 Lie 대수oid으로 확장 가능하며, 복소기하학 및 분할 기하학에서 알려진 결과를 복원할 수 있는가?

주요 결과

• tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R T•_poly) 및 tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R D•_poly)는 항등사상 부분을 가진 L∞-동형사상에 대해 고유한 자연스러운 L∞-대수 구조를 지닌다.
• 이 L∞-구조들은 코homology 군 H•_CE(A, T•_poly) 및 H•_CE(A, D•_poly)에 고유한 Gerstenhaber 대수 구조를 유도한다.
• Fedosov dg Lie 대수oid을 통한 구성은 임의의 Lie 쌍 (L, A)에 대해 다항벡터장과 다항미분 연산자 사이의 형식성을 기하학적으로 실현한다.
• 복소다양체의 경우 (L = TX⊗C, A = T0,1_X), 코homology 군은 각각 H•(X, Λ•TX) 및 HH•(X)와 동형이며, Gerstenhaber 대수 구조를 상속한다.
• 일치하는 쌍의 경우, 구성은 각각 ∂ 및 ∂+dH를 갖는 Ω0,•(T•_poly(X)) 및 Ω0,•(D•_poly(X)) 위의 알려진 dgla 구조를 복원한다.
• 이 방법은 평탄한 다양체를 초월하여 분할 기하학 및 복소다양체를 포함한 Lie 쌍의 맥락으로 Kontsevich의 형식성 정리를 일반화하며, 이러한 맥락에서 자연스러운 dgla 구조가 존재하지 않는 문제를 해결한다.