[논문 리뷰] Positive and zero temperature polymer models

Nicos Georgiou|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 01.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정온도 및 영온도에서 고무줄 모델의 대 deviations 및 대수법칙을 수립한다. 정온도에서는 고무줄 경로와 도착점에 대해 명시적인 고정된 속도 함수를 도출하며, log-gamma 환경 하에서 해석 가능한 결과를 얻는다. 영온도에서는 불연속적인 속도 함수를 갖는 TASEP에 대한 유체역학적 극한을 증명하며, 조건부 밀도 프로파일에 대한 변분 공식을 통해 스칼라 보존법칙의 엔트로피 해에 수렴함을 보인다.

ABSTRACT

We present results about large deviations and laws of large numbers for various polymer related quantities. In a completely general setting and strictly positive temperature, we present results about large deviations for directed polymers in random environment. We prove quenched large deviations (and compute the rate functions explicitly) for the exit point of the polymer chain and the polymer chain itself. We also prove existence of the upper tail large deviation rate function for the logarithm of the partition function. In the case where the environment weights have certain log-gamma distributions the computations are tractable and allow us to compute the rate function explicitly. At zero temperature, the polymer model is now called a last passage model. With a particular choice of random weights, the last passage model has an equivalent representation as a particle system called Totally Asymmetric Simple Exclusion Process (TASEP). We prove a hydrodynamic limit for the macroscopic particle density and current for TASEP with spatially inhomogeneous jump rates given by a speed function that may admit discontinuities. The limiting density profiles are described with a variational formula. This formula enables us to compute explicit density profiles even though we have no information about the invariant distributions of the process. In the case of a two-phase flux for which a suitable p.d.e. theory has been developed we also observe that the limit profiles are entropy solutions of the corresponding scalar conservation law with a discontinuous speed function.

연구 동기 및 목표

• 정온도에서 무작위 환경 내의 방향성 고무줄에 대한 대 deviations 원리 수립.
• 일반적 및 특정(로그-감마) 환경 하에서 고무줄 경로 및 도착점에 대한 명시적인 고정된 속도 함수 계산.
• 영온도 극한을 분석하여 고무줄 모델이 마지막 통과 퍼콜레이션 모델로 변환됨을 밝힘.
• 공간적으로 비균일한 점프 비율을 갖는 TASEP에 대한 유체역학적 극한 유도 (불연속적인 속도 함수에 의해 지배됨).
• 불변 측도에 대한 지식 없이도 극한 거시적 밀도 및 전류 프로파일을 변분 공식으로 특성화함.

제안 방법

• 정온도에서 고정된 대 deviations 이론을 사용하여 방향성 고무줄의 도착점 및 경로에 대한 속도 함수 유도.
• 볼록 쌍대성 및 최소합 연산 기법을 적용하여 속도 함수를 변분 공식으로 표현.
• 환경 가중치에 대해 로그-감마 분포를 적용하여 속도 함수의 명시적 계산 가능하게 함.
• 영온도에서의 마지막 통과 모델을 불연속적인 속도 함수를 갖는 TASEP로 변환.
• 유체역학적 극한 기법을 적용하여 입자 밀도 및 전류가 변분 공식으로 정의된 프로파일로 수렴함을 보임.
• 이중상 흐름 케이스에서 극한 프로파일이 불연속 흐름을 갖는 스칼라 보존법칙의 엔트로피 해 조건을 만족함을 입증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정온도에서 방향성 고무줄의 도착점 및 경로에 대한 고정된 대 deviations 속도 함수는 무엇인가?
• RQ2 정온도에서 분할 함수의 로그에 대한 상부 尾부 대 deviations 속도 함수가 존재함을 보일 수 있는가?
• RQ3 영온도에서 불연속적인 속도 함수를 갖는 TASEP에서 거시적 밀도 및 전류 프로파일은 어떻게 도출되는가?
• RQ4 불변 측도에 대한 지식 없이도 변분 공식이 TASEP의 극한 밀도 프로파일을 묘사할 수 있는가?
• RQ5 이중상 흐름 케이스에서의 극한 프로파일은 불연속 흐름을 갖는 스칼라 보존법칙의 엔트로피 해와 일치하는가?

주요 결과

• 환경의 로그-감마 분포를 포함하는 변분 공식을 사용하여 고무줄의 도착점에 대한 고정된 대 deviations 속도 함수를 명시적으로 계산함.
• 로그-감마 분포를 갖는 환경 가중치 하에서 고무줄 경로 및 도착점에 대한 속도 함수는 볼록 쌍대성을 통해 해석 가능하고 명시적으로 표현 가능함.
• 정온도에서 분할 함수의 로그에 대한 상부 꼬리 대 deviations 속도 함수가 존재함을 입증함.
• 영온도 극한에서 불연속적인 속도 함수를 갖는 TASEP는 밀도 프로파일에 대한 변분 공식으로 기술되는 유체역학적 극한을 나타냄.
• 속도 함수가 조각별 상수(이중상 흐름)일 경우, 극한 프로파일이 해당 스칼라 보존법칙의 엔트로피 해임을 입증함.
• 극한 밀도 프로파일에 대한 변분 공식을 통해 불변 측도에 대한 지식 없이도 프로파일의 명시적 계산이 가능함.