[논문 리뷰] Positive energy representations of gauge groups I: Localization

Bas Janssens, Karl‐Hermann Neeb|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 07.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 59인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주어진 주문다발 $\Xi \to M$ 와 관련된 컴팩트 지지를 가진 게이지 군 $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))$ 의 프로젝티브 양의 에너지 표현에 대한 국소화 정리를 수립한다. 시간적 생성자들의 锥이 고정점이 없을 조건 하에서, 이러한 표현들은 1차원 $P$-불변 부분다양체 $S \subseteq M$ 에서 기인하며, $M$ 이 컴팩트일 경우, 애핀 카크–무디 대수의 최저 무게 표현을 통해 완전한 분류가 가능하다.

ABSTRACT

This is the first in a series of papers on projective positive energy representations of gauge groups. Let $Ξ ightarrow M$ be a principal fiber bundle, and let $Γ_{c}(M,\mathrm{Ad}(Ξ))$ be the group of compactly supported (local) gauge transformations. If $P$ is a group of `space-time symmetries' acting on $Ξ ightarrow M$, then a projective unitary representation of $Γ_{c}(M,\mathrm{Ad}(Ξ)) times P$ is of positive energy if every `timelike generator' $p_0 \in \mathfrak{p}$ gives rise to a Hamiltonian $H(p_0)$ whose spectrum is bounded from below. Our main result shows that in the absence of fixed points for the cone of timelike generators, the projective positive energy representations of the connected component $Γ_{c}(M,\mathrm{Ad}(Ξ))_0$ come from 1-dimensional $P$-orbits. For compact $M$ this yields a complete classification of the projective positive energy representations in terms of lowest weight representations of affine Kac-Moody algebras. For noncompact $M$, it yields a classification under further restrictions on the space of ground states. In the second part of this series we consider larger groups of gauge transformations, which contain also global transformations. The present results are used to localize the positive energy representations at (conformal) infinity.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 게이지 군에 대한 위그너–맥케이 분류를 내부 대칭과 시공간 대칭을 통합함으로써 확장함으로써, 양의 에너지 표현의 분류를 확장한다.
• 주어진 주문다발 $\Xi \to M$ 에서 시공간 대칭을 작용시키는 군 $P$ 와의 세미직접곱 $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi)) \rtimes P$ 의 프로젝티브 유니터리 양의 에너지 표현을 분류한다.
• 다양체 $M$ 에 정의된 표현을 1차원 $P$-불변 부분다양체 $S \subseteq M$ 에 대한 표현으로 줄이는 국소화 메커니즘을 수립한다.
• 기저 다각형 $M$ 이 컴팩트일 경우, 이러한 표현의 완전한 분류를 애핀 카크–무디 대수의 최저 무게 표현을 통해 제공한다.
• 제2부의 분석을 위한 기초를 마련하며, 이는 국소화를 통해 전역 게이지 변환과 그들의 콫다이어니컬 무한대에서의 행동을 확장하는 데 목적이 있다.

제안 방법

• 시공간 대칭군 $P$ 와 그 리 대수 $\mathfrak{p}$ 에서 시간적 생성자들의 锥 $\mathscr{C} \subseteq \mathfrak{p}$ 를 갖는 군 $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi)) \rtimes P$ 의 프로젝티브 유니터리 표현을 분석한다.
• 각 $p_0 \in \mathscr{C}$ 와 관련된 해밀토니안 $H(p_0)$ 의 스펙트럼이 아래로 유계임을 요구함으로써, 양의 에너지 개념을 적용한다.
• 리 대수 기법을 사용하여 문제를 국소 게이지 대수와 그 중심 확장을 다루는 것으로 압축하며, 특히 왜곡된 루프 대수에 초점을 맞춘다.
• 소볼레프–리 대수 구조와 연속적 확장 정리를 활용하여, 부드러운 함수에서 소볼레프 공간으로의 표현 확장을 수행한다.
• 리 대수 수준에서 국소화 정리를 적용하여, $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))_0$ 의 양의 에너지 표현이 1차원 $P$-오빗으로의 표현으로 분해됨을 보인다.
• 확장된 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 의 1파라미터 부분군의 에르고딕성 성질을 활용하여, 진공 상태 벡터가 전체 군 작용에 대해 불변임을 증명함으로써 분류를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프로젝티브 양의 에너지 표현 $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))_0$ 이 1차원 $P$-불변 부분다양체로 국소화되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 기저 다각형 $M$ 이 컴팩트일 경우, 게이지 군의 양의 에너지 표현은 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ3 중심 확장과 소볼레프 공간은 양의 에너지 표현의 연속적 확장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 시간적 생성자들의 锥이 고정점이 없을 경우, 양의 에너지 표현의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 진공 표현과 확장된 $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 의 1파라미터 부분군의 에르고딕성 성질 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 국소화 정리에 따르면, $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))_0$ 의 모든 프로젝티브 양의 에너지 표현은 1차원 $P$-불변 부분다양체 $S \subseteq M$ 에서 기인한다.
• 기저 다각형 $M$ 이 컴팩트일 경우, 프로젝티브 양의 에너지 표현의 분류는 완전하며, 애핀 카크–무디 대수의 최저 무게 표현과 동치이다.
• 표현은 소볼레프 공간으로 연속적으로 확장되어 부드러움과 상자 다각형의 구조와의 호환성을 확보한다.
• 진공 벡터 $\Omega$ 가 어떤 1파라미터 부분군 $\widetilde{x}(t)$ 나 $\widetilde{h}(t)$ 에 의해 고정될 경우, 전체 군 $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 에서도 고정됨을 의미하므로 완전한 불변성을 가진다.
• 연속적 확장 정리에 따르면, 표현 함수 $\varphi = \Phi_3 \circ \Phi_2 \circ \Phi_1$ 의 부드러움은 $\Phi_1$ 의 부드러움, $\Phi_2$ 의 연속성, $\Phi_3$ 의 해석적 성질로부터 유도된다.
• 비콤팩트 $M$ 의 경우, 기저 상태 공간에 추가 제약 조건이 붙는다. 이는 컴팩트 경우에 비해 더 제한된 구조를 가짐을 시사한다.