[논문 리뷰] Positive Semi-Definiteness and Sum-of-Squares Property of Fourth Order Four Dimensional Hankel Tensors

Yannan Chen, Liqun Qi외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 16.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대칭 생성 벡터를 가진 4차 4차원 한켈 텐서가 정반정부정(PSD)일 수는 있지만 합의 제곱(SOS)은 아닐 수 있는지 조사한다. 이 클래스는 PNS(PSD이지만 SOS는 아님) 텐서로 알려져 있다. 이론적 분석과 YALMIP, Gloptipoly, SeDuMi을 사용한 광범위한 수치 실험을 통해, 테스트된 모든 대칭 생성 벡터에 대해 SOS 성질의 임계값($M_0$)이 정반정부정 성질의 임계값($N_0$)과 정확히 일치하는 것으로 나타나, 대칭 조건 하에 이 클래스에서 PNS 한켈 텐서는 존재하지 않음을 시사한다.

ABSTRACT

A positive semi-definite (PSD) tensor which is not a sum-of-squares (SOS) tensor is called a PSD non-SOS (PNS) tensor. Is there a fourth order four dimensional PNS Hankel tensor? Until now, this question is still an open problem. Its answer has both theoretical and practical meanings. We assume that the generating vector $v$ of the Hankel tensor $A$ is symmetric. Under this assumption, we may fix the fifth element $v_4$ of $v$ at $1$. We show that there are two surfaces $M_0$ and $N_0$ with the elements $v_2, v_6, v_1, v_3, v_5$ of $v$ as variables, such that $M_0 \ge N_0$, $A$ is SOS if and only if $v_0 \ge M_0$, and $A$ is PSD if and only if $v_0 \ge N_0$, where $v_0$ is the first element of $v$. If $M_0 = N_0$ for a point $P = (v_2, v_6, v_1, v_3, v_5)^ op$, then there are no fourth order four dimensional PNS Hankel tensors with symmetric generating vectors for such $v_2, v_6, v_1, v_3, v_5$. Then, we call such a point $P$ PNS-free. We show that a $45$-degree planar closed convex cone, a segment, a ray and an additional point are PNS-free. Numerical tests check various grid points, and find that they are also PNS-free.

연구 동기 및 목표

• 4차 4차원 한켈 텐서에 대한 열린 힐버트-한켈 문제를 해결하기 위해.
• 정반정부정이지만 합의 제곱이 아닌 한켈 텐서가 존재하는지 확인하기 위해.
• 생성 벡터가 대칭이라는 가정 하에 이러한 PNS 텐서의 존재 여부를 조사하기 위해.
• 이 텐서 클래스에서 합의 제곱(SOS)과 정반정부정(PSD) 성질의 임계값을 비교하기 위해.
• 이 설정에서 PNS 한켈 텐서가 존재하지 않음을 이론적이고 수치적으로 증명하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{13}$ 에서 대칭 생성 벡터를 정의하며, 문제를 정규화하기 위해 $v_4 = v_8 = 1$ 을 고정한다.
• SOS 성질과 PSD 성질을 만족하는 데 필요한 최소 $v_0$ 를 나타내는 두 함수 $M_0(v_2,v_6,v_1,v_3,v_5)$ 와 $N_0(v_2,v_6,v_1,v_3,v_5)$ 를 도입한다.
• 이론적 분석을 통해 $M_0 \geq N_0$ 를 증명하며, 등식($M_0 = N_0$)이 성립하면 해당 매개터 세트에 대해 PNS 텐서가 존재하지 않음을 의미한다.
• 특정 영역—예를 들어 45도 원뿔, 선분, 반직선, 한 점—에서 $M_0 = N_0$ 를 확인하여, 이들이 PNS가 없는 영역임을 증명한다.
• 수치적 검증은 YALMIP의 SOS 모듈을 사용해 $M_0$ 를 계산하고, Gloptipoly/SeDuMi을 사용해 $N_0$ 를 계산하며, 대칭 생성 벡터 매개터의 격자에 걸쳐 수행된다.
• 다양한 $v_1, v_2, v_3, v_5, v_6$ 조합에 대한 광범위한 수치 실험에서, 모든 테스트 포인트에서 $M_0 = N_0$ 를 일관되게 관측하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차 4차원 한켈 텐서 중 정반정부정이지만 합의 제곱이 아닌 것이 존재하는가?
• RQ2 생성 벡터가 대칭일 경우 이러한 PNS 한켈 텐서가 존재할 수 있는가?
• RQ3 모든 대칭 생성 벡터에 대해 합의 제곱 성질의 임계값($M_0$)이 정반정부정 성질의 임계값($N_0$)과 동일한가?
• RQ4 $M_0 > N_0$ 가 되는 매개터 영역이 존재하는가? 이는 PNS 한켈 텐서의 존재를 시사한다.
• RQ5 수치 방법은 이 클래스에서 PNS 한켈 텐서를 탐지할 수 있는가, 아니면 항상 $M_0 = N_0$ 를 보여주는가?

주요 결과

• 이론적 분석을 통해 $M_0 = N_0$ 가 성립하는 PNS가 없는 영역로 45도 평면 닫힘 볼록 원뿔, 선분, 반직선, 단일 점이 포함됨을 증명하였다.
• 모든 수치 실험에서 $v_1 = v_3 = v_5 = 0$ 인 경우, 220개의 격자 포인트에서 $M_0$ 와 $N_0$ 가 정확히 일치하여 PNS 텐서가 탐지되지 않았다.
• $v_1 = v_2 = v_3 = 0$ 이고 $v_5, v_6$ 가 변할 때도 $M_0$ 와 $N_0$ 는 일치하였으며, 등고선도는 $M_0 = N_0 = 500$ 인 경우 불꽃불꽃 모양의 형태를 보였다.
• 모든 매개터 세트 $v_1, v_2, v_3, v_5, v_6$ 에 대해 테스트된 격자 포인트에서 $M_0 = N_0$ 를 확인하였고, 이는 어떤 변동도 발견되지 않았다.
• $v_6$ 는 효과적인 정의역과 $M_0$, $N_0$ 의 행동에 상당한 영향을 미치지만, $v_1$ 은 미미한 영향을 미친다.
• 선분 $L$ 에서의 임계 값은 정확히 1이며, 원뿔 $C$ 에서는 보조 매개변수 $\theta$ 에 대한 4차 다항식이고, 반직선 $R$ 과 점 $A$ 에서는 무리수이므로, 완전한 해석적 증명은 비현실적임을 시사한다.