[논문 리뷰] Pricing American options via multi-level approximation methods

Denis Belomestny, Fabian Dickmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 몬테카를로 시뮬레이션을 사용한 아메리칸 및 버무두안 옵션 가격 설정의 계산 복잡도를 줄이기 위해 다중 수준 근사 방법을 제안한다. 다양한 근사 수준에서 계속 가치의 계층적 추정을 활용함으로써, 이 방법은 점점 줄어드는 복잡도 𝒪(ε⁻¹)을 달성하여 기존의 𝒪(ε⁻³)으로 증가하는 방법보다 효율성이 크게 향상된다.

ABSTRACT

In this article we propose a novel approach to reduce the computational complexity of various approximation methods for pricing discrete time American options. Given a sequence of continuation values estimates corresponding to different levels of spatial approximation and time discretization, we propose a multi-level low biased estimate for the price of an American option. It turns out that the resulting complexity gain can be rather high and can even reach the order (\varepsilon^{-1}) with (\varepsilon) denoting the desired precision. The performance of the proposed multilevel algorithm is illustrated by a numerical example of pricing Bermudan max-call options.

연구 동기 및 목표

• 고차원 설정에서 특히 높은 계산 비용을 가지는 기존 몬테카를로 방법의 문제를 해결한다.
• 원하는 정밀도 ε에 따라 체계적으로 증가하는 비효율성으로 인해 일반적으로 𝒪(ε⁻³) 복잡도에 도달하는 표준 근사 알고리즘의 문제를 해결한다.
• 다양한 빠른 근사 방법(예: 회귀 기반 및 메쉬 방법 포함)에 적용 가능한 일반적인 복잡도 감소 프레임워크를 개발한다.
• 계층적 계속 가치 추정에 기반한 다중 수준 몬테카를로 접근을 통해 증명 가능한 복잡도 감소를 달성한다.
• 스토크래틱 메쉬 방법을 사용한 버무두안 최대 콜 옵션에 대한 수치 실험을 통해 방법의 효과성을 입증한다.

제안 방법

• 공간 정밀도가 점차 증가하는 수준의 계속 가치 근사 추정을 구성하며, 각 수준은 다른 정도의 근사(예: 기저 함수의 수 또는 학습 경로 수)에 대응한다.
• 연속된 수준 간의 계속 가치 추정치의 차이를 조합하여 옵션 가격에 대한 다중 수준 저편향 추정량을 정의한다.
• 최적 정지 문제의 경로 기반 단조성 특성을 활용하여 추정량이 아래에서부터 편향 없이 유지되도록 보장한다.
• 연속된 수준 간의 상관관계를 활용하여 분산 감소 기법을 적용함으로써, 샘플당 총 분산을 줄인다.
• 정밀도 제약 조건 하에서 편향과 분산을 균형 잡기 위해 라그랑주 승수 방법을 사용해 계산 자원의 수준 간 할당을 최적화한다.
• 근사 수준에서 추정 오차 및 분산의 감쇠 속도를 분석함으로써 이론적 복잡도 한계를 유도한다. 이때 오차는 근사 수준에 대해 다항식 감쇠를 가정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아메리칸 옵션 가격 설정을 위한 빠른 근사 방법의 계산 복잡도는 기존의 표준 𝒪(ε⁻³) 척도 이하로 낮출 수 있는가?
• RQ2 계층적 계속 가치 근사에 기반한 다중 수준 접근이 증명 가능한 향상된 渐近 복잡도를 제공하는가?
• RQ3 이 방법은 회귀, 메쉬, 국소 회귀와 같은 다양한 근사 체계에 일반적으로 적용 가능한가?
• RQ4 목표 정밀도 ε를 달성하기 위해 수준 간 계산 자원을 최적으로 할당하는 방법은 무엇인가?
• RQ5 실제 옵션 가격 설정 문제에서 기존의 단일 수준 방법과 비교해 이 방법은 수치적으로 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 제안된 다중 수준 방법은 계속 가치 근사에 대한 약한 정규성 조건 하에서 옵션 가격 설정의 점점 줄어드는 복잡도를 𝒪(ε⁻³)에서 𝒪(ε⁻¹)로 감소시킨다.
• 이 방법은 연속된 수준 간의 상관관계를 활용하고, 분산 감소를 위해 차분의 텔레스코픽 합을 사용함으로써 이 복잡도 향상을 달성한다.
• 이론적 분석에 따르면 다중 수준 추정량의 분산은 ε² 비례로 감쇠하며, 이는 최소한의 계산 자원으로 효율적인 샘플링을 가능하게 한다.
• 수치 실험 결과 이론적 복잡도 감소가 확인되었으며, 스위치 메쉬 방법을 사용한 버무두안 최대 콜 옵션 가격 설정에서 뚜렷한 속도 향상을 보였다.
• 이 방법은 강건하고 일반적이며, 전역 및 국소 회귀, 스위치 메쉬 방법을 포함한 다양한 근사 기법에 적용 가능하다.
• 라그랑주 승수를 통해 수준 간 샘플 할당 최적화를 도출하였으며, 이는 편향과 분산의 균형 잡힌 무게를 부여하여 이론적 복잡도 한계에 도달한다.