[논문 리뷰] Probability density function of SDEs with unbounded and path--dependent drift coefficient

Dai Taguchi, Akihiro Tanaka|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 58인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계가 없고 경로에 따라 변하는 국소 계수를 갖는 d차원 SDE의 해에 대한 확률 밀도 함수(pdf)의 존재성, 명시적 표현, 가우시안 양측 경계 및 허더 연속성을 확립한다. 마루야마-기르산وف 변환과 국소 노비코프 조건, 파라메트릭스 방법을 조합하여 정밀한 경계를 도출하고, 이를 바탕으로 유도된 오일러-마르유마 방법의 수렴 속도 분석과 편향 없는 시뮬레이션 방법을 구축한다.

ABSTRACT

In this paper, we first prove that the existence of a solution of SDEs under the assumptions that the drift coefficient is of linear growth and path--dependent, and diffusion coefficient is bounded, uniformly elliptic and Hölder continuous. We apply Gaussian upper bound for a probability density function of a solution of SDE without drift coefficient and local Novikov condition, in order to use Maruyama--Girsanov transformation. The aim of this paper is to prove the existence with explicit representations (under linear/super--linear growth condition), Gaussian two--sided bound and Hölder continuity (under sub--linear growth condition) of a probability density function of a solution of SDEs with path--dependent drift coefficient. As an application of explicit representation, we provide the rate of convergence for an Euler--Maruyama (type) approximation, and an unbiased simulation scheme.

연구 동기 및 목표

• 경계가 없고 경로에 따라 변하는 국소 계수를 갖는 SDE의 해에 대한 확률 밀도 함수(pdf)의 존재성과 정규성을 확립하는 것.
• 국소 계수의 선형 및 초선형 성장 조건 하에서 pdf의 명시적 표현을 도출하는 것.
• 국소 계수의 초선형 성장 조건 하에서 pdf에 대한 가우시안 양측 경계 및 허더 연속성을 증명하는 것.
• 이론적 결과를 바탕으로 오일러-마르유마 유사 근사 방법의 수렴 속도를 분석하는 것.
• 유도된 pdf 성질을 활용하여 이러한 SDE의 해를 위한 편향 없는 시뮬레이션 방법을 개발하는 것.

제안 방법

• 경로에 따라 변하는 국소 계수를 갖는 SDE를 새로운 측도 하에서의 확산 과정으로 변환하기 위해 마루야마-기르산오프 정리를 활용한다.
• 경계가 없는 국소 계수 하에서도 기르산오프 변환이 유효하도록 국소 노비코프 조건을 적용한다.
• 기본 해를 구성하고 pdf에 대한 경계를 도출하기 위해 파라메트릭스 방법을 사용한다.
• 국소 계수가 없는 확산 과정의 전이 밀도에 대한 가우시안 상한을 기준 측도로 사용한다.
• 푸리에 분석과 특성 함수 추정을 통해 특성 함수의 $L^2$-노름을 제어하여 적분 가능성 확보 및 결과적으로 pdf 존재성 확보.
• 모멘트 추정과 확산 계수의 허더 연속성을 조합하여 pdf의 정규성 성질을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 또는 초선형 성장 조건 하에서 국소 계수가 없고 경로에 따라 변하는 국소 계수를 갖는 SDE에 해가 존재하는가?
• RQ2 이러한 경우에 해의 확률 밀도 함수(pdf)를 명시적으로 표현할 수 있는가?
• RQ3 국소 계수의 초선형 성장 조건 하에서 pdf에 대한 정밀한 가우시안 양측 경계는 무엇인가?
• RQ4 국소 계수의 초선형 성장 조건 하에서 pdf는 허더 연속적인가?
• RQ5 오일러-마르유마 유사 근사 방법의 해에 대한 수렴 속도는 얼마이며, 편향 없는 시뮬레이션 방법을 구축할 수 있는가?

주요 결과

• 국소 계수의 선형 성장 조건과 확산 계수의 균일 타원성 조건 하에서 국소 계수가 없고 경로에 따라 변하는 국소 계수를 갖는 SDE의 해가 존재한다.
• 국소 계수의 선형 및 초선형 성장 조건 하에서 pdf의 명시적 표현이 도출된다.
• 국소 계수의 초선형 성장 조건 하에서 pdf에 대한 가우시안 양측 경계가 확립된다.
• 국소 계수의 초선형 성장 조건 하에서 pdf가 허더 연속임이 입증되어 부드러움 성질이 보장된다.
• 모멘트 추정과 특성 함수 추정을 통해 오일러-마르유마 유사 근사 방법의 수렴 속도가 정량화된다.
• 유도된 pdf 성질과 특성 함수 경계를 바탕으로 편향 없는 시뮬레이션 방법이 구축된다.