[논문 리뷰] Zappa-Szep products of semigroups and their C*-algebras

Nathan Brownlowe, Jacqui Ramagge외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 02.

semigroups and automata theory참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Li의 반군 C*-대수 구축법을 사용하여, 반군의 Zappa-Szép 곱으로부터 C*-대수를 구성하는 통합 프레임워크를 제안한다. 전체 C*-대수와 경계 몫에 대한 명시적 생성자-관계 표현을 제시하며, 기존의 클래스들—예를 들어 준격서열 순서가 있는 군, 자기유사 군 작용, Baumslag-Solitar 군—이 특수한 경우로 나타남을 보여준다. 주요 기여는 Cuntz-Pimsner 대수와 Nica의 C*-대수들을 하나의 대수적 구조 안에서 통합하는 일반화이다.

ABSTRACT

Zappa-Szép products of semigroups encompass both the self-similar group actions of Nekrashevych and the quasi-lattice-ordered groups of Nica. We use Li's construction of semigroup $C^*$-algebras to associate a $C^*$-algebra to Zappa-Szép products and give an explicit presentation of the algebra. We then define a quotient $C^*$-algebra that generalises the Cuntz-Pimsner algebras for self-similar actions. We indicate how known examples, previously viewed as distinct classes, fit into our unifying framework. We specifically discuss the Baumslag-Solitar groups, the binary adding machine, the semigroup $\mathbb{N} times\mathbb{N}^ imes$, and the $ax+b$-semigroup $\mathbb{Z} times\mathbb{Z}^ imes$.

연구 동기 및 목표

• 준격서열 순서가 있는 군과 자기유사 군 작용에서 유래된 다양한 C*-대수 클래스들을 하나의 프레임워크로 통합하는 것.
• 항등원을 가진 왼쪽 취소가 가능한 반군의 Zappa-Szép 곱에 대해 Li의 반군 C*-대수 구축법을 확장하는 것.
• 자기유사 작용을 위한 Cuntz-Pimsner 대수를 일반화하는 경계 몫 C*-대수를 정의하고 분석하는 것.
• 전체 C*-대수와 그 경계 몫에 대한 명시적 생성자-관계 표현을 제공하여 접근 가능성을 향상시키는 것.

제안 방법

• 항등원을 가진 왼쪽 취소가 가능한 두 반군의 Zappa-Szép 곱을 구성하여, 결과로 얻어지는 반군이 또한 왼쪽 취소가 가능하고 오른쪽 LCM 성질을 만족하도록 보장한다.
• Li의 구축법을 적용하여 Zappa-Szép 곱에 대해 전체 C*-대수를 정의하며, 등장하는 등거리 표현과 오른쪽 아이디얼에 따라 인덱싱된 프로젝션을 사용한다.
• 반군 내의 기초 집합에 관련된 프로젝션으로 생성된 아이디얼에 대한 몫을 통해 경계 몫 C*-대수를 도입한다.
• 유니버설 관계를 검증하여, 결과로 얻어진 C*-대수와 알려진 대수들(예: Cuntz-Pimsner 대수, Nica의 C*(G,P)) 사이의 동형사상을 수립한다.
• 기초 집합의 성질과 귀납법을 사용하여, 몫 대수 내에서 특정 프로젝션의 곱이 0이 됨을 증명함으로써 경계 몫을 식별한다.
• 명시적 준동형사상과 전사성 증명을 통해 알려진 대수들의 유니버설 관계(예: Q2, O(G,X))가 구축된 C*-대수의 관계와 일치함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반군의 Zappa-Szép 곱이 준격서열 순서가 있는 군과 자기유사 군 작용에서 기인한 다양한 C*-대수 구축법을 통합하는 프레임워크로 기능할 수 있는가?
• RQ2 Li의 반군 C*-대수 구축법을 어떻게 Zappa-Szép 곱에 적용하여 전체 C*-대수의 명시적 표현을 얻을 수 있는가?
• RQ3 이 맥락에서 경계 몫 C*-대수의 구조는 어떠한가? 그리고 Cuntz-Pimsner 대수와의 관계는 무엇인가?
• RQ4 기존의 예들—예를 들어 2진수 링 C*-대수 Q2와 Cuntz-Pimsner 대수 O(G,X)—는 Zappa-Szép 곱의 전체 C*-대수의 몫으로 자연스럽게 유도되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 자기유사 작용의 곱으로 확장될 수 있으며, 그 경우 단순성 등의 성질을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 왼쪽 취소가 가능한 반군의 Zappa-Szép 곱의 전체 C*-대수에는 Li의 구축법을 일반화한 명시적 생성자-관계 표현이 존재한다.
• 경계 몫 C*-대수는 임의의 자기유사 군 작용 (G,X)에 대해 Cuntz-Pimsner 대수 O(G,X)와 동형이 되며, 이로써 이 클래스의 대수들이 통합된다.
• 2진수 링 C*-대수 Q2는 X={0,1}이고 N이 애드잉 머신인 Zappa-Szép 곱 X* ✨ N의 경계 몫과 동형이다.
• 반군 N ✨ N*의 경우 전체 C*-대수는 Nica의 C*(BS(1,2), BS(1,2)+)와 동형이며, 경계 몫은 Cuntz-Pimsner 대수 O(Z,X)와 동형이다.
• 이 프레임워크는 자기유사 작용의 곱으로 일반화될 수 있다: 반군 F+_θ가 오른쪽 LCM 성질을 만족할 경우, C*-대수 C*(F+_θ ✨ G)는 토플리츠-쿤츠-크리에거 가족과 자기유사성 관계를 만족하는 유니터리 표현을 위한 유니버설이다.
• 경계 몫과 O(G,X) 사이의 동형사상 증명은, 1 - ∑x∈X vtxv*x가 기초 집합에 대한 프로젝션의 곱들로 생성된 아이디얼과 일치함을 보여주는 데 기반하며, 단어 길이에 대한 귀납법을 사용한다.