[논문 리뷰] Quadratic backward stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion: discrete solutions and approximation

Ying Hu, Yiqing Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $G$-브라운 운동에 의해 구동되는 이차 후행 확률미분방정식(BSDE)의 해가 존재하고 유일함을 입증하며, 완전 비선형 편미분방정식(PDE)을 통한 이산 근사와 바나흐 공간 수렴을 이용한다. 주요 기여는 $G$-기대 설정에서 이차 성장 생성자에 대한 엄밀한 프레임워크를 제공함으로써, 기존의 BSDE 이론을 기니언 불확실성 모델로 확장하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we consider backward stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion (GBSDEs) under quadratic assumptions on coefficients. We prove the existence and uniqueness of solution for such equations. On the one hand, a priori estimates are obtained by applying the Girsanov type theorem in the $G$-framework, from which we deduce the uniqueness. On the other hand, to prove the existence of solutions, we first construct solutions for discrete GBSDEs by solving corresponding fully nonlinear PDEs, and then approximate solutions for general quadratic GBSDEs in Banach spaces.

연구 동기 및 목표

• 후행 확률미분방정식이 $G$-브라운 운동에 의해 구동되며 생성자에 대해 이차 성장 조건을 만족할 때 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 금융 및 확률 모델에서 기니언 불확실성을 모델링하는 비선형 $G$-기대 설정으로 고전적 BSDE 이론을 확장하는 것.
• 유한 시간 격자에서 완전 비선형 편미분방정식을 풀어 $G$-BSDE에 대한 이산 근사 체계를 구축하는 것.
• 기본적인 사전 추정치와 유일성의 부재를 Girsanov 유형의 추론 및 컴팩턴스 방법으로 극복하는 것.
• 이전의 리프시츠 또는 유계 생성자 결과를 제어 변수 $Z$ 에서의 더 복잡한 이차 성장 경우로 일반화하는 것.

제안 방법

• G-프레임워크 내에서 Girsanov 유형 정리로 사전 추정치를 유도하여 해의 유일성을 확보한다.
• 유한 시간 격자에서 관련된 완전 비선형 포물형 PDE를 풀어 $G$-BSDE의 이산 해를 구성한다.
• 바나흐 공간 프레임워크를 이용해 일반 이차 $G$-BSDE를 이산 $G$-BSDE의 수열로 근사한다.
• $G$-마팅글 표현 정리를 적용하여 해를 대칭 $G$-이토 인tegral과 감소하는 $G$-마팅글 부분으로 분해한다.
• 초등 연속성 모듈러스와 볼록 최대함수($w^h$)를 사용하여 이산 근사의 수렴을 초등노름 및 $L^p$-노름에서 통제한다.
• $G$-기대의 성질과 르베그 수렴 정리를 활용하여 근사 수열이 $\mathcal{S}^p_G$ 및 $\mathcal{H}^{p'}_G$ 내에서 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성자가 $Z$ 에 대해 이차 성장을 보일 때, 이차 $G$-BSDE에 대해 존재성과 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 완전 비선형 PDE를 이용해 $G$-BSDE의 이산 해를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 $G$-프레임워크에서 이산 근사가 진짜 해로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 $G$-마팅글 표현 정리를 이용해 이차 경우의 해 구조를 특성화할 수 있는가?
• RQ5 $G$-기대 프레임워크는 모델 불확실성 하에서 해를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 공간 $\mathfrak{G}^2_G(0,T)$ 내에서 이차 $G$-BSDE의 해 $({Y}, {Z}, {K})$ 가 존재하고 유일함을 증명한다.
• G-프레임워크 내에서 Girsanov 유형 변환을 사용한 사전 추정치가 유도되어 이차 성장 조건 하에서 해의 유일성을 보장한다.
• 시간 분할에서 $G$-BSDE에 해당하는 완전 비선형 PDE를 풀어 각 단계에서 잘 정의된 해를 구성한다.
• 이산 해의 수열은 임의로 큰 $p$, $p'$, $p''$ 에 대해 $\mathcal{S}^p_G(0,T) \times \mathcal{H}^{p'}_G(0,T) \times \mathcal{S}^{p''}_G(0,T)$ 내에서 수렴하며, 강한 수렴을 의미한다.
• 한계 과정 $K$ 는 감소하는 $G$-마팅글임이 입증되었으며, 이는 $G$-마팅글 표현 정리와 일치한다.
• 초등 연속성 추정치와 볼록 최대함수 $w^h$ 의 사용을 통해 근사 수열의 수렴이 확립되었으며, 이는 $\bar{Y}^n$, $\bar{Z}^n$, 및 $\bar{K}^n$ 의 $L^p$-수렴을 보장한다.