[논문 리뷰] Quantization via Linear homotopy types

Urs Schreiber|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 27.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 115인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 선형 호모토피 유형 이론을 사용하여 국소 전양자 장 이론의 비퍼트루바티브 코homological 양자화를 제안하며, 안정적 $Π$-카테고리에서 이차 적분 변환을 체계화한다. 이는 양자 이상성의 상쇄가 이러한 양자화를 주어진 이차 적분 변환의 경계로 표현할 수 있음을 보여주며, 유형 이론 기반의 물리학에서 기하적 양자화, 모티브 이론, 허브리틱 원리(홀로그래픽 원리)를 통합한다.

ABSTRACT

In the foundational logical framework of homotopy-type theory we discuss a natural formalization of secondary integral transforms in stable geometric homotopy theory. We observe that this yields a process of non-perturbative cohomological quantization of local pre-quantum field theory; and show that quantum anomaly cancellation amounts to realizing this as the boundary of a field theory that is given by genuine (primary) integral transforms, hence by linear polynomial functors. Recalling that traditional linear logic has semantics in symmetric monoidal categories and serves to formalize quantum mechanics, what we consider is its refinement to linear homotopy-type theory with semantics in stable infinity-categories of bundles of stable homotopy types (generalized cohomology theories) formalizing Lagrangian quantum field theory, following Nuiten and closely related to recent work by Haugseng and Hopkins-Lurie. For the reader interested in technical problems of quantization we provide non-perturbative quantization of Poisson manifolds and of the superstring; and find insight into quantum anomaly cancellation, the holographic principle and motivic structures in quantization. For the reader inclined to the interpretation of quantum mechanics we exhibit quantum superposition and interference as existential quantification in linear homotopy-type theory. For the reader inclined to foundations we provide a refinement of the proposal by Lawvere for a formal foundation of physics, lifted from classical continuum mechanics to local Lagrangian quantum gauge field theory.

연구 동기 및 목표

• 호모토피 유형 이론을 사용하여 국소 전양자 장 이론의 비퍼트루바티브 코homological 양자화를 체계화하는 것.
• 단일 논리적 틀 안에서 기하적 양자화와 경로 적분 양자화를 통합하는 것.
• 양자 이상성의 상쇄가 이차 적분 변환을 주어진 이차 변환의 경계로 표현할 수 있음을 보여주는 것.
• 대수기하학에서의 모티브 구조를 비가환 모티브 이론과 KK이론으로의 자연스러운 사상에 의해 양자화와 연결하는 것.
• 국소 라그랑주 양자게이지장 이론의 기초 틀을 제공하여 고전역학을 유형 이론을 통해 양자장 이론으로 확장하는 것.

제안 방법

• 일반화된 코homology 이론의 안정적 $∞$-카테고리에서 공액성 호모토피 유형 이론을 사용하여 전양자 기하를 체계화하는 것.
• 안정적 $∞$-카테고리에서 의미를 지닌 선형 호모토피 유형 이론을 도입하여 선형 논리를 개선함으로써 라그랑주 양자장 이론을 모델링하는 것.
• $ℕ$-카테고리에서 대응관계를 따라 당겨지기-곱하기-밀고내기 방식의 이차 적분 변환을 사용하여 양자화 함수를 정의하는 것.
• 선형 다항 함수를 통해 주어진 이차 변환의 경계로 나타나는 경계 장 이론과 이상성 상쇄를 모델링하는 주어진 이차 변환을 사용하는 것.
• 다그-구조와 섬유별 내적을 사용하여 양자 연산과 상태 전파를 체계화하는 것.
• 지향된 양자 상태 유형에 대해 탄카다 dual을 적용하여 브라인과 도메인 월을 필드 이론에서 기술하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비퍼트루바티브 양자화가 어떤 방식으로 유형 이론 기반에서 파울리 다양체에 대해 체계화될 수 있는가?
• RQ2 양자 이상성 상쇄가 주어진 이차 변환의 경계로 표현되는 주어진 이차 변환 이론과 어떤 방식으로 관련되는가?
• RQ3 대수기하학에서의 모티브 구조는 안정적 $∞$-카테고리에서의 양자화와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 양자 중첩과 간섭 현상은 선형 호모토피 유형 이론에서 존재 기술로 해석될 수 있는가?
• RQ5 이차 적분 변환의 경계로 표현된 이론에서 홀로그래픽 원리는 어떻게 도출되는가?

주요 결과

• 국소 전양자 장 이론의 양자화는 안정적 $∞$-카테고리에서 이차 적분 변환으로 체계화되며, 대응관계에서 $E$-모듈로 가는 함자를 제공한다.
• 양자 이상성 상쇄는 이차 변환이 주어진 이차 변환의 경계로 나타나는 조건으로 특징지어지며, 즉 선형 다항 함수로 표현된다.
• 이 구성은 비틀린 일반화된 코homology 이론의 지수 이론을 통해 기하적 양자화를 실현하며, 공액성 호모토피 유형을 통해 장 이론으로 확장된다.
• 전양자 적분 커널에서 비가환 모티브로 가는 자연스러운 사상이 확립되어 이 틀이 모티브 코homology와 연결됨을 보여준다.
• 홀로그래픽 원리는 고차원 TQFT의 부피 이론이 주어진 이차 변환의 경계 장 이론으로 표현되며 실현된다.
• 양자 중첩과 간섭 현상은 선형 호모토피 유형 이론에서 존재 기술로 해석되며, 양자 현상에 대한 논리적 기초를 제공한다.