[논문 리뷰] Quantum algorithms for grid-based variational time evolution

Pauline J. Ollitrault, Sven Jandura외 5명|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 48인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 1차 양자화 격자 인코딩에서 양자 동역학을 시뮬레이션하기 위한 변분 양자 알고리즘을 제안하며, 회로 깊이와 측정 오버헤드를 줄이기 위해 위치 및 운동량 기저 측정을 활용한다. 또한 변분 시간 진동을 안정화하기 위해 부분공간 대각화를 도입하여 1차원 및 2차원 시스템에서 매개변수 수를 크게 줄이고 정밀도를 향상시킨다.

ABSTRACT

The simulation of quantum dynamics calls for quantum algorithms working in first quantized grid encodings. Here, we propose a variational quantum algorithm for performing quantum dynamics in first quantization. In addition to the usual reduction in circuit depth conferred by variational approaches, this algorithm also enjoys several advantages compared to previously proposed ones. For instance, variational approaches suffer from the need for a large number of measurements. However, the grid encoding of first quantized Hamiltonians only requires measuring in position and momentum bases, irrespective of the system size. Their combination with variational approaches is therefore particularly attractive. Moreover, heuristic variational forms can be employed to overcome the limitation of the hard decomposition of Trotterized first quantized Hamiltonians into quantum gates. We apply this quantum algorithm to the dynamics of several systems in one and two dimensions. Our simulations exhibit the previously observed numerical instabilities of variational time propagation approaches. We show how they can be significantly attenuated through subspace diagonalization at a cost of an additional $\mathcal{O}(MN^2)$ 2-qubit gates where $M$ is the number of dimensions and $N^M$ is the total number of grid points.

연구 동기 및 목표

• Trotterized 시간 진동을 사용한 1차 양자화에서 양자 동역학을 시뮬레이션할 때 발생하는 깊은 양자 회로 문제를 해결한다.
• 단지 위치 및 운동량 기저 측정이 필요한 격자 기반 하미르토니안 인코딩을 활용하여 변분 양자 알고리즘에서 흔히 발생하는 높은 측정 오버헤드를 완화한다.
• 지역 대각화 방법을 통해 수치적 불안정성이 발생하는 변분 시간 진동을 안정화한다.
• 기본 하미르토니안의 고유상태를 사용해 동역학을 동적으로 관련 있는 부분공간에 투영함으로써 변분 매개변수의 수를 줄인다.
• 일반적인 포텐셜을 가진 시스템, 특히 다항식이 아닌 및 쿨롱 상호작용을 포함한 경우에도 근시일 내 양자 하드웨어에서 효율적인 양자 동역학 시뮬레이션을 가능하게 한다.

제안 방법

• 시간 진동을 1차 양자화에서 구현하며, 하미르토니안을 공간 격자에 인코딩한다.
• 변분 안사트를 사용하여 매개변수화된 양자 회로로 시간 진동 상태를 준비하고, 시간 순서화된 에너지의 기대값을 최소화한다.
• 기본 하미르토니안 H₀의 고전적 대각화에서 유도된 유니터리 변환 D를 적용하여 변분 상태를 전체 하미르토니안를 부분적으로 대각화하는 기저로 변환한다.
• Qiskit를 사용하여 등장 변환 D를 등가 분해를 통해 실현하여 효율적인 양자 회로 실현을 가능하게 한다.
• 절단 임계값을 도입하여 부분 대각화를 수행함으로써 비영인 행렬 원소 수와 계산 비용을 줄이고 정확도를 유지한다.
• 재조건화를 적용한 최소 제곱 fitting을 사용하여 최적화 과정을 안정화하고 매개변수 갱신 시 수치 오차를 감소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 격자 기반 1차 양자화 시간 진동을 위한 변분 양자 알고리즘이 안정적이고 효율적인가?
• RQ2 격자 상에서 양자 시스템을 시뮬레이션할 때 변분 알고리즘의 측정 오버헤드를 어떻게 최소화할 수 있는가?
• RQ3 부분공간 대각화를 통해 변분 매개변수의 수를 얼마나 줄일 수 있으며, 시뮬레이션 정밀도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 계수 절단을 통한 부분 대각화가 변분 시간 진동의 정확도와 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 방법은 쿨롱 상호작용이나 비선형 상호작용을 포함한 복잡하거나 비다항식 포텐셜을 가진 시스템으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 변분 양자 알고리즘은 6 큐비트를 사용하여 조화 진동자 및 에카르트 허문 시스템 모두에서 장기간의 시뮬레이션 기간 동안 높은 상태 정밀도(1에 가까운 값)를 달성한다.
• 부분공간 대각화를 통해 기저 하미르토니안의 관련 고유상태가 생성하는 저차원 불변 부분공간에 동역학을 투영함으로써 효과적인 변분 매개변수 수를 줄였다.
• 0.1 및 1.0의 절단 임계값을 사용한 부분 대각화는 높은 정밀도를 유지하며, 비영인 행렬 원소 밀도가 각각 0.27 및 0.14로 나타나 절단에 대해 강건함을 보였다.
• 문제를 더 매끄러운 최적화 과정으로 변환함으로써 기존에는 수치적으로 불안정한 변분 시간 진동을 안정화시켰다.
• 측정을 위치 및 운동량 기저로 제한함으로써 시스템 크기와 무관하게 회로 깊이와 측정 비용을 줄였다.
• 이 방법은 확장 가능하며 전자-포논 시스템, 비선형 동역학, 격자에 이산화된 양자장 이론을 포함한 더 넓은 범위의 문제에 적용 가능하다.