[논문 리뷰] Quantum approximate algorithm for NP optimization problems with constraints

Yue Ruan, S. Marsh외 4명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 선형 등식, 선형 부등식 및 임의의 제약 조건을 포함하는 NP 최적화 문제를 해결하기 위해 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)을 위한 일반화된 제약 조건 인코딩 프레임워크를 제안한다. 대칭적, 정규적 또는 성간 기반 혼합 해밀토니안($\hat{B}$)을 구성함으로써 변분 과정 전반에 걸쳐 타당한 해가 유지되며, 소규모 문제 인스턴스에서 페널티 기반 또는 $\hat{C}$-수정 접근 방식에 비해 향상된 해 품질을 보여준다.

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) is an algorithmic framework for finding approximate solutions to combinatorial optimization problems, derived from an approximation to the Quantum Adiabatic Algorithm (QAA). In solving combinatorial optimization problems with constraints in the context of QAOA or QAA, one needs to find a way to encode problem constraints into the scheme. In this paper, we formalize different constraint types to linear equalities, linear inequalities, and arbitrary form. Based on this, we propose constraint-encoding schemes well-fitting into the QAOA framework for solving NP combinatorial optimization problems. The implemented algorithms demonstrate the effectiveness and efficiency of the proposed scheme by the testing results of varied instances of some well-known NP optimization problems. We argue that our work leads to a generalized framework for finding, in the context of QAOA, high-quality approximate solutions to combinatorial problems with various types of constraints.

연구 동기 및 목표

• 페널티 항을 사용하지 않고 QAOA에 제약 조건을 통합하는 데 있어 성능 저하를 야기하는 문제를 해결하기 위해.
• 제약 조건을 선형 등식, 선형 부등식 및 임의의 제약 조건의 세 유형으로 분류하여 체계적인 인코딩 전략을 가능하게 하기 위해.
• 타당한 해 부분공간을 유지하는 QAOA 프레임워크 내에서 일반화되고 유연하며 효율적인 제약 조건 인코딩 기법을 개발하기 위해.
• 대칭적, 정규적 또는 성간 기반 $\hat{B}$ 연산자가 기존 방법에 비해 더 높은 품질의 근사 해를 제공함을 입증하기 위해.
• 그래프 분할 및 3-SAT와 같은 벤치마크 NP 문제에서 이론적 검증을 통해 타당성과 해 품질 향상을 보여주기 위해.

제안 방법

• 제약 조건을 선형 등식, 선형 부등식 및 임의의 제약 조건의 세 범주로 분류하여 맞춤형 인코딩 전략을 가능하게 한다.
• 선형 제약 조건을 위해 정규 또는 근사 정규 그래프 기반 $\hat{B}$ 연산자를 제안하며, 타당한 해가 하밍 거리 1 또는 2로 다를 때 간선이 연결된다.
• 임의의 제약 조건을 위한 성간 그래프 연산자를 도입하며, 한 개의 타당한 해를 중심으로 하여 나머지 모든 타당한 해와 연결함으로써 타당 부분공간의 완전한 연결성을 보장한다.
• $\hat{B}$의 인접 그래프 표현을 사용하여 혼합 해밀토니안을 정의함으로써 $[\hat{B}, H_{\text{constraint}}] = 0$를 확보하고 진화 중에 타당 부분공간을 유지한다.
• $\hat{C}$에 페널티 항을 사용하지 않고 $\hat{B}$를 통해 검색 공간을 제약함으로써 힐베르트 공간 크기를 줄이고 해 품질을 향상시킨다.
• 표준 QAOA 변분 프레임워크를 활용하며, $\hat{U}_B(\beta)$와 $\hat{U}_C(\gamma)$ 유니터리가 번갈아가며 적용되며, $\vec{\beta}, \vec{\gamma}$를 최적화하여 $\langle \hat{C} \rangle$를 최대화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 등식, 선형 부등식 및 임의의 제약 조건과 같은 다양한 제약 조건 유형을 QAOA 프레임워크 내에서 통합할 수 있는 통합 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 문제 해밀토니안 $\hat{C}$ 가 아닌 혼합 해밀토니안 $\hat{B}$ 에 제약 조건을 인코딩할 경우, 해 품질과 타당성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 정규성 또는 대칭성과 같은 $\hat{B}$ 의 구조적 특성은 제약 조건 최적화에 있어 QAOA 성능 향상에 어떤 기여를 하는가?
• RQ4 성간 그래프 또는 정규 그래프 구조를 $\hat{B}$ 에 사용할 경우, 표준 또는 페널티 기반 접근 방식에 비해 더 높은 품질의 근사 해를 얻을 수 있는가?
• RQ5 특정 부분공간을 $\hat{B}$ 를 통해 제약함으로써 소규모 NP 문제에서 QAOA 성능이 얼마나 향상되는가?

주요 결과

• 구조적 $\hat{B}$ 연산자(정규 또는 성간 그래프)를 사용한 제안된 제약 조건 인코딩 기법은 페널티 기반 방법이나 $\hat{C}$-수정 기법에 비해 더 높은 품질의 근사 해를 생성한다.
• 선형 제약 조건의 경우, $\hat{B}$ 연산자는 하밍 거리 1 또는 2로 다를 타당한 해 간의 전이 합으로 구성되며, 정규 또는 근사 정규 그래프를 형성한다.
• 성간 그래프 연산자는 중심이 되는 초기 타당한 해와 모든 타당한 해를 연결함으로써 임의의 제약 조건을 효과적으로 인코딩하며, 타당 부분공간의 완전한 연결성을 보장한다.
• 결과적으로 $\hat{B}$ 를 통해 더 작은 타당 부분공간으로 검색을 제약함으로써 $\hat{C}$ 를 수정하는 것보다 훨씬 뛰어난 해 품질을 얻을 수 있으며, 저품질 해를 측정할 확률이 낮다는 것으로 입증된다.
• 이 방법은 QAOA 진화 전반에 걸쳐 타당성을 유지하며, 에너지 구조를 왜곡하고 성능을 떨어뜨릴 수 있는 페널티 항의 필요성을 피한다.
• 소규모 인스턴스에서 $p=3$ 일 때 그래프 분할 및 3-SAT 문제에 대한 실험적 검증을 통해 제안된 기법의 효과성과 효율성을 입증하였다.