[논문 리뷰] Quantum Algorithms for Scientific Computing and Approximate Optimization

Stuart Hadfield|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 211인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 과학 계산 및 조합 최적화를 위한 새로운 양자 알고리즘을 제안하며, 제곱근과 로그와 같은 기본 함수를 위한 모듈러 양자 회로, 다항식 스케일링을 갖는 해밀토니안의 저에너지 고유값을 근사하기 위한 펌터베이티브 양자 알고리즘, 그리고 실행 가능성 제약 조건이 있는 최적화 문제를 위한 일반화된 양자 교호 작용 연산자 안사즈를 도입하여 근접한 양자 장치에서 자원 효율성을 향상시킨다.

ABSTRACT

Quantum computation appears to offer significant advantages over classical computation and this has generated a tremendous interest in the field. In this thesis we study the application of quantum computers to computational problems in science and engineering, and to combinatorial optimization problems. We outline the results below. Algorithms for scientific computing require modules, i.e., building blocks, implementing elementary numerical functions that have well-controlled numerical error, are uniformly scalable and reversible, and that can be implemented efficiently. We derive quantum algorithms and circuits for computing square roots, logarithms, and arbitrary fractional powers, and derive worst-case error and cost bounds. We describe a modular approach to quantum algorithm design as a first step towards numerical standards and mathematical libraries for quantum scientific computing. A fundamental but computationally hard problem in physics is to solve the time-independent Schrödinger equation. This is accomplished by computing the eigenvalues of the corresponding Hamiltonian operator. The eigenvalues describe the different energy levels of a system. The cost of classical deterministic algorithms computing these eigenvalues grows exponentially with the number of system degrees of freedom. The number of degrees of freedom is typically proportional to the number of particles in a physical system. We show an efficient quantum algorithm for approximating a constant number of low-order eigenvalues of a Hamiltonian using a perturbation approach. We apply this algorithm to a special case of the Schrödinger equation and show that our algorithm succeeds with high probability, and has cost that scales polynomially with the number of degrees of freedom and the reciprocal of the desired accuracy. This improves and extends earlier results on quantum algorithms for estimating the ground state energy. We consider the simulation of quantum mechanical systems on a quantum computer. We show a novel divide and conquer approach for Hamiltonian simulation. Using the Hamiltonian structure, we can obtain faster simulation algorithms. Considering a sum of Hamiltonians we split them into groups, simulate each group separately, and combine the partial results. Simulation is customized to take advantage of the properties of each group, and hence yield refined bounds to the overall simulation cost. We illustrate our results using the electronic structure problem of quantum chemistry, where we obtain significantly improved cost estimates under mild assumptions. We turn to combinatorial optimization problems. An important open question is whether quantum computers provide advantages for the approximation of classically hard combinatorial problems. A promising recently proposed approach of Farhi et al. is the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA). We study the application of QAOA to the Maximum Cut problem, and derive analytic performance bounds for the lowest circuit-depth realization, for both general and special classes of graphs. Along the way, we develop a general procedure for analyzing the performance of QAOA for other problems, and show an example demonstrating the difficulty of obtaining similar results for greater depth. We show a generalization of QAOA and its application to wider classes of combinatorial optimization problems, in particular, problems with feasibility constraints. We introduce the Quantum Alternating Operator Ansatz, which utilizes more general unitary operators than the original QAOA proposal. Our framework facilitates low-resource implementations for many applications which may be particularly suitable for early quantum computers. We specify design criteria, and develop a set of results and tools for mapping diverse problems to explicit quantum circuits. We derive constructions for several important prototypical problems including Maximum Independent Set, Graph Coloring, and the Traveling Salesman problem, and show appealing resource cost estimates for their implementations.

연구 동기 및 목표

• 제곱근, 로그, 분수 거듭제곱과 같은 기본 수치 함수를 위한 모듈러, 가역적, 오차 제어가 가능한 양자 알고리즘 개발.
• 양자 다체계에서 해밀토니안의 저차수 고유값을 근사하는 효율적인 양자 알고리즘 설계로 고전적 지수적 스케일링을 초월.
• 군 특성에 기반한 구조를 활용하여 시뮬레이션 비용을 감소시키는 분할 정복 전략을 통해 해밀토니안 시뮬레이션 향상.
• 실행 가능성 제약 조건이 있는 조합 최적화 문제를 다룰 수 있도록 QAOA 프레임워크를 일반화.
• 최대 독립 집합, 그래프 색칠 문제, TSP와 같은 주요 NP-난이도 문제에 대한 구체적인 양자 회로 구성 및 자원 추정 제공.

제안 방법

• 제한된 최악의 경우 오차와 가역 게이트 분해를 사용한 반복 근사 기법을 활용해 기본 함수를 위한 양자 회로 설계.
• 제어된 오차와 성공 확률을 고려한 양자 위상 추정을 활용해 해밀토니안의 저차수 고유값을 펌터베이티브 방법으로 추정.
• 해밀토니안을 하위군으로 분할하고 각 군에 맞는 기법으로 시뮬레이션한 후, 양자 회로 조합을 통해 결과를 통합하는 분할 정복 전략을 구현.
• 비아벨 및 비이동 단위 연산자를 사용해 문제 제약 조건을 더 잘 코딩하는 양자 교호 작용 연산자 안사즈를 도입하여 QAOA를 일반화.
• 조합 최적화 문제를 양자 회로로 매핑하는 체계적인 절차 개발, 최대 독립 집합, 그래프 색칠, TSP에 대한 명시적 구성 포함.
• 양자 화학 응용에서 약한 가정 하에 시스템 크기, 원하는 정밀도, 문제 특성 매개변수를 기반으로 모든 알고리즘의 비용 한계 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제곱근과 로그 계산과 같은 과학 계산 작업을 위한 모듈러, 가역적, 수치적으로 안정적인 구성 요소를 갖춘 양자 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 시스템 크기와 반비례 정밀도에 대해 다항식 스케일링을 갖는 양자 알고리즘이 해밀토니안의 저차수 고유값을 근사할 수 있는가, 고전적 지수적 스케일링을 능가하는가?
• RQ3 하위해밀토니안의 구조적 특성을 활용하는 분할 정복 접근법이 하위해밀토니안의 비용 한계를 더 낮출 수 있는가?
• RQ4 QAOA 프레임워크를 실행 가능성 제약 조건이 있는 조합 최적화 문제를 다룰 수 있도록 일반화할 수 있으며, 회로 깊이 증가에 따른 성능 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ5 새로운 안사즈를 사용해 프로토타입 NP-난이도 문제를 양자 회로로 매핑할 때 자원 비용과 회로 구현은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 논문은 제한된 최악의 경우 오차와 효율적인 게이트 수를 갖는 제곱근, 로그, 임의의 분수 거듭제곱 계산을 위한 양자 회로를 구성한다.
• 제안된 펌터베이티브 양자 알고리즘은 해밀토니안의 일정 수의 저차수 고유값을 다항식 스케일링으로 근사하며, 높은 성공 확률을 달성한다.
• 분할 정복 기반 해밀토니안 시뮬레이션 방법은 약한 가정 하에 양자 화학의 전자 구조 문제에 대해 상당히 향상된 비용 추정을 도출한다.
• 일반화된 양자 교호 작용 연산자 안사즈는 제약 조건이 있는 최적화 문제에 대해 저자원 구현을 가능하게 하며, 최대 독립 집합, 그래프 색칠, TSP에 대한 명시적 회로 구성 제공.
• 최대 컷 문제에 대해 최소 깊이 QAOA 실현의 분석적 성능 한계를 도출하여 일반 및 특수 그래프 클래스에서의 증명 가능한 성능를 입증.
• 연구는 얕은 회로 깊이를 초월해 분석적 성능 한계를 확장하는 데서 내재된 과제를 드러내며, 깊은 QAOA 회로에 대한 현재 분석 기법의 한계를 강조한다.