[논문 리뷰] Quantum Circuit Depth Lower Bounds For Homological Codes

Dorit Aharonov, Yonathan Touati|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고립된 국소 해밀토니안인 키타에프의 구면 코드의 유일한 기본 상태에 대해 처음으로 양자 회로 깊이 하한을 확립한다. 특히 γ-분리라는 새로운 위상적 불변량을 사용하여 Ω(log n) 하한을 증명한다. 이 결과는 상수 깊이 회로로 효율적으로 생성 가능한 비위상적 상태들과 위상적으로 질서가 있는 기본 상태들을 분리하며, 양자 복잡도 이론과 위상적 질서 이론의 핵심 과제를 해결한다.

ABSTRACT

We provide an $Ω(log(n))$ lower bound for the depth of any quantum circuit generating the unique groundstate of Kitaev's spherical code. No circuit-depth lower bound was known before on this code in the general case where the gates can connect qubits even if they are far away; To the best of our knowledge, this is the first time a quantum circuit-depth lower bound is given for unique ground state of a {\it gapped} local Hamiltonian. Providing a lower bound in this case seems more challenging, since such systems exhibit exponential decay of correlations and standard lower bound techniques do not apply. We prove our lower bound by introducing the new notion of $γ$-separation, and analyzing its behavior using algebraic topology arguments. We extend out methods also to a wide class of polygonal complexes beyond the sphere, and prove a circuit-depth lower bound whenever the complex does not have a small "bottle neck" (in a sense which we define). Here our lower bound on the circuit depth is only $Ω(logloglog(n))$. We conjecture that the correct lower bound is at least $Ω(log(log(n))$, but this seems harder to achieve due to the possibility of hyperbolic geometry. For general simplicial complexes the lack of geometrical restriction on the gates becomes considerably more problematic than for the sphere, and we need to thoroughly modify the original argument in order to get a meaningful bound. To the best of our knowledge, this is the first time the class of trivial quantum states is separated from the class of unique ground states of gapped local Hamiltonians; we provide a survey of the current status of this hierarchy for completeness.The tools developed here will be useful in various contexts in which quantum circuit depth lower bounds are of interest, including the study of topological order, quantum computational complexity and quantum algorithmic speedups.

연구 동기 및 목표

• Kitaev의 구면 코드—고립된 국소 해밀토니안—의 유일한 기본 상태에 대한 회로 깊이 하한을 확립하기 위해.
• 게이트가 국소적으로 작용하지 않을 수 있는 일반적인 회로 모델에서 하한을 증명하는 데 도전하는 문제를 극복하기 위해.
• 양자 상태 복잡도를 분석하기 위한 새로운 위상적 도구로 γ-분리를 도입하고 체계화하기 위해.
• 이 하한 기법을 광범위한 다각형 복합체에 확장하여, 작은 봉합부가 없는 구조적 조건이 비상수 깊이를 암시함을 규명하기 위해.
• 상수 깊이 회로로 생성 가능한 비위상적 양자 상태의 집합과 고립된 국소 해밀토니안의 유일한 기본 상태의 집합을 분리하여, 전체 얽힘과 위상적 질서의 계층을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 호모로지컬 코드에서 양자 상태의 구조적 복잡도를 측정하는 위상적 불변량인 γ-분리를 도입하기 위해.
• 대수적 위상수학을 사용하여 γ-분리가 국소 양자 연산 하에서 어떻게 행동하는지 분석하고, 위상적 구조와 회로 깊이 제약 조건을 연결하기 위해.
• Kitaev의 구면 코드의 기본 상태를 생성하는 데 필요한 모든 양자 회로는 최소 Ω(log n) 깊이를 가져야 한다는 것을 γ-분리와 위상 불변성으로 증명하기 위해.
• 일반적인 다각형 복합체로 방법을 확장하기 위해 위상적 봉합부 조건을 정의하고, 이러한 봉합부가 존재하지 않을 경우 Ω(log log log n) 깊이 하한이 성립함을 보여주기 위해.
• 고립된 국소 해밀토니안의 기본 상태는 지수적으로 감쇠하는 상관관계를 가지므로 기존 하한 기법이 무력화됨을 활용하고, γ-분리를 통해 이를 극복하기 위해.
• 확장된 CAT 상태로의 환원을 사용하고, 장거리 상관관계를 가지는 상태와의 오버랩이 상수 깊이 회로로 생성할 수 없는 것을 보여, 기본 상태의 비자명성을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 게이트가 허용되는 상황에서도 상수 깊이의 양자 회로로 Kitaev의 구면 코드의 유일한 기본 상태를 생성할 수 있는가?
• RQ2 비국소 게이트가 허용될 경우, 고립된 국소 해밀토니안의 기본 상태를 준비하기 위해 필요한 최소 회로 깊이는 얼마인가?
• RQ3 기하적 제약 조건이 없는 상황에서 위상적 불변량을 어떻게 사용하여 양자 회로 깊이의 하한을 유도할 수 있는가?
• RQ4 어떤 위상적 조건에서 다각형 복합체의 해밀토니안 코드 기본 상태는 초상수 깊이의 회로를 필요로 하는가?
• RQ5 상수 깊이 회로로 생성 가능한 비위상적 양자 상태의 집합과 고립된 국소 해밀토니안의 유일한 기본 상태의 집합을 분리할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비국소 게이트가 허용되는 상황에서도 Kitaev의 구면 코드의 유일한 기본 상태를 생성하는 데 Ω(log n) 회로 깊이 하한을 확립한다.
• 이 하한은 상수 범위 내에서 최적임을 보이며, 로그 깊이의 MERA 회로가 동일한 상태를 준비할 수 있음을 고려할 때 타당하다.
• 저자들은 비기하적 환경에서도 깊이 하한을 도출할 수 있도록 새로운 위상적 불변량인 γ-분리를 도입한다.
• 광범위한 다각형 복합체의 클래스에 대해, 복합체에 작은 위상적 봉합부가 없을 경우 Ω(log log log n) 깊이 하한이 성립함을 증명한다.
• 저자들은 더 강력한 Ω(log log n) 하한을 추측하지만, 현재 기법으로는 쌍곡 기하학이 이러한 하한을 방해할 수 있음을 언급한다.
• 이 작업은 상수 깊이 회로로 생성 가능한 비위상적 양자 상태의 집합과 고립된 국소 해밀토니안의 유일한 기본 상태의 집합 사이의 첫 번째 분리를 제공하며, 위상적 질서와 얽힘 계층의 이해를 발전시킨다.