[논문 리뷰] Quantum Topological Data Analysis with Linear Depth and Exponential Speedup

Shashanka Ubaru, Ismail Yunus Akhalwaya외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 05.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 55인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 데이터 분석을 위한 새로운 양자 알고리즘을 제안하며, 선형 회로 깊이로만 구현되어도 기하급수적 속도 향상을 달성하여 근접한 노이지 중간 규모 양자(NISQ) 장치에서 실행 가능한 방법을 제공한다. 기존의 그로버 검색과 양자 위상 추정을 효율적인 파울리 분해, 양자 기각 샘플링, 확률적 체비셰프 추정으로 대체함으로써, 조밀한 단체 복합체에 대한 베티 수 추정에서 실용적인 양자 우위를 달성할 수 있다.

ABSTRACT

Quantum computing offers the potential of exponential speedups for certain classical computations. Over the last decade, many quantum machine learning (QML) algorithms have been proposed as candidates for such exponential improvements. However, two issues unravel the hope of exponential speedup for some of these QML algorithms: the data-loading problem and, more recently, the stunning dequantization results of Tang et al. A third issue, namely the fault-tolerance requirements of most QML algorithms, has further hindered their practical realization. The quantum topological data analysis (QTDA) algorithm of Lloyd, Garnerone and Zanardi was one of the first QML algorithms that convincingly offered an expected exponential speedup. From the outset, it did not suffer from the data-loading problem. A recent result has also shown that the generalized problem solved by this algorithm is likely classically intractable, and would therefore be immune to any dequantization efforts. However, the QTDA algorithm of Lloyd et~al. has a time complexity of $O(n^4/(ε^2 δ))$ (where $n$ is the number of data points, $ε$ is the error tolerance, and $δ$ is the smallest nonzero eigenvalue of the restricted Laplacian) and requires fault-tolerant quantum computing, which has not yet been achieved. In this paper, we completely overhaul the QTDA algorithm to achieve an improved exponential speedup and depth complexity of $O(n\log(1/(δε)))$. Our approach includes three key innovations: (a) an efficient realization of the combinatorial Laplacian as a sum of Pauli operators; (b) a quantum rejection sampling approach to restrict the superposition to the simplices in the complex; and (c) a stochastic rank estimation method to estimate the Betti numbers. We present a theoretical error analysis, and the circuit and computational time and depth complexities for Betti number estimation.

연구 동기 및 목표

• 기존의 양자 기하학적 데이터 분석(QTDA) 알고리즘의 고장 내성 및 높은 깊이 문제를 해결하기 위해.
• 데이터 로딩이나 위상 추정에 의존하지 않고도 베티 수 추정에서 기하급수적 속도 향상을 달성하기 위해.
• 근접한 양자 하드웨어(NISQ 장치)에서 실행 가능한 방법을 개발하여 O(n log(1/(δε)))의 회로 깊이를 확보하기 위해.
• 양자 위상 추정을 확률적 랭크 추정으로 대체하는 이론적으로 탄탄하고 오차 분석이 완료된 접근법을 제공하기 위해.
• 실제 양자 컴퓨터에서 알고리즘을 구현하여 실현 가능성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 조합적 라플라시안을 파울리 연산자의 합으로 효율적으로 분해하여 낮은 깊이의 양자 회로 실행을 가능하게 한다.
• 기존 연구에서 사용된 그로버 검색을 대체하기 위해, 특정 차수의 단체 복합체에 국한된 초위상 상태를 유지하기 위해 양자 기각 샘플링과 투영을 사용한다.
• 자원 소모가 큰 양자 위상 추정 절차를 대체하기 위해 확률적 체비셰프 방법을 사용하여 랭크를 추정한다.
• 단체 복합체 상태를 세기 레지스터와 얽히게 하여 효율적인 상태 준비를 위한 제어 증가 기법을 적용한다.
• 스펙트럼 갭 δ가 작을 경우에 베티 수를 추정하기 위해 임계값 기반의 근사 기법을 도입하여 노이즈가 많은 작은 고유값을 걸러낸다.
• 이론적 오차 분석을 수행하여, 베티 수의 추정 오차가 ε 허용 오차 내에 놓이도록 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베티 수 추정을 위한 양자 알고리즘이 선형 깊이의 양자 회로만으로 기하급수적 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ2 QTDA에서 고장 내성 양자 계산과 양자 위상 추정의 필요성을 제거할 수 있는가?
• RQ3 이 알고리즘은 현재의 NISQ 장치에서 실행 가능하여 근접한 양자 우위를 실현할 수 있는가?
• RQ4 스펙트럼 특성인 베티 수를 얕은 양자 회로만으로 고정밀도로 추정할 수 있는가?
• RQ5 작은 스펙트럼 갭에 대해 노이즈를 효과적으로 걸러내기 위해 작은 고유값을 필터링함으로써 알고리즘을 노이즈에 강건하게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 O(n log(1/(δε)))의 회로 깊이를 확보하여 근접한 NISQ 장치에서의 실행을 가능하게 한다.
• 특히 스펙트럼 갭이 큰 조밀한 단체 복합체에 대해 널리 수용된 가정 하에 기존의 고전적 방법보다 기하급수적 속도 향상을 달성한다.
• 확률적 체비셰프 방법을 통해 양자 위상 추정 없이도 정확한 베티 수 추정이 가능해져 자원 소모를 줄였다.
• 알고리즘이 실제 양자 컴퓨터에서 성공적으로 구현되고 실행되어 이론적 예측을 확인했다.
• 임계값 δ 이상의 고유값만을 추정함으로써 작은 스펙트럼 갭에 대해 강건한 성능을 보이며 노이즈를 효과적으로 걸러낸다.
• 이 방법은 QTDA를 넘어서 스펙트럼 밀도 추정, 수치적 랭크 근사, 양자 머신러닝의 다른 선형 대수 문제 등에 광범위하게 적용 가능하다.