[논문 리뷰] Rényi Entropy for a $\bf 2d$ CFT with a gauge field: $\bf \widehat{ m SU}(N)_1$ WZW theory on a branched torus

Howard J. Schnitzer|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 09.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 56인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\widehat{\rm SU}(N)_1$ Wess-Zumino-Witten (WZW) 모형의 레니이 엔트로피를 $n$-겹 브랜치드 토러스에서 $U(1)$ 게이지 장 제약 조건이 있는 페르미온 표현을 사용하여 계산한다. 해밀토니안 공간을 $\widehat{\rm U}(N)_1$으로 확장하고 $U(1)$ 제약 조건을 통해 투영함으로써, 게이지 장의 조화 성분을 분리한다. 이 성분은 비틀린 경계 조건을 가진 페르미온 행렬식 기여를 하며, 핵심 결과로는 리만-지젤 쌍곡선 함수를 포함하는 레니이 엔트로피 표현이 도출되며, 이는 보존 이론의 표현과 일치하여 보세-페르미온 이중성의 타당성을 확인한다.

ABSTRACT

The Rényi entropy for the $\widehat{ m SU}(N)_1$ WZW model as described by $N$ free fermions coupled to a $U(1)$ constraint field is computed on an $n$-sheeted branched torus. The boundary condition of the harmonic component of the gauge field on the homology cycles of the genus $g$ Riemann surface is central to the final result. This calculation is complementary to that of arXiv:$1510.05993$, which presents the bose side of the bose-fermi equivalence.

연구 동기 및 목표

• 브랜치드 토러스에서 $U(1)$ 게이지 장이 존재하는 $\widehat{\rm SU}(N)_1$ WZW 모형의 레니이 엔트로피를 계산한다.
• $\widehat{\rm SU}(N)_1$ 모형을 $\widehat{\rm U}(N)_1 / \rm U(1)$로 표현한 페르미온 표현을 사용하여, 게이지 이론에 대한 확장된 힐베르트 공간 접근법을 시험한다.
• 게이지 장의 조화 성분이 레니이 엔트로피에 미치는 역할, 특히 비틀린 경계 조건을 통한 기여를 분리한다.
• 레플리카 기법을 $n$-겹 리만 표면에 적용하여, 동일 이론의 보존 표현과의 일관성을 확인한다.

제안 방법

• 레플리카 기법을 사용하여 $n$-겹 브랜치드 토러스 $\mathcal{R}_{n,1}$에서의 분할 함수를 통해 레니이 엔트로피를 계산한다.
• $\widehat{\rm SU}(N)_1$ 이론을 $U(1)$ 게이지 장에 결합된 $N$개의 자유 페르미온으로 표현하고, 힐베르트 공간을 $\widehat{\rm U}(N)_1$으로 확장한다.
• 게이지 장에 대해 호지 분해를 적용하여 정확한, 코정확한, 조화 성분으로 분리한다.
• 정확한 및 코정확한 부분을 표준 방식으로 분할 함수에 기여하는 스칼라 장으로 간주한다.
• 조화 성분을 게이지 장의 영모드로 인해 비틀린 경계 조건을 가진 페르미온 행렬식으로 계산한다.
• 리만-지젤 쌍곡선 함수를 사용하여 영모드 기여를 코딩하고, 호모로지 순환에서의 순 $U(1)$ 전하가 없도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 CFT인 $\widehat{\rm SU}(N)_1$에서 $U(1)$ 게이지 장의 존재가 레니이 엔트로피에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 비국소적 가우스 법칙 제약 조건을 가진 연속체 게이지 이론에 대해 확장된 힐베르트 공간 방법이 성공적으로 적용될 수 있는가?
• RQ3 비틀린 경계 조건의 맥락에서 게이지 장의 조화 성분이 레니이 엔트로피에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 $\widehat{\rm SU}(N)_1$의 페르미온 표현이 보존 표현과 동일한 레니이 엔트로피를 도출하는가? 그리고 이는 어떻게 확인되는가?
• RQ5 $n \to 1$ 극한에서 조화 기여가 왜 문제적인가? 이는 엔트로피 분할 계산에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $\widehat{\rm SU}(N)_1$의 브랜치드 토러스에서의 레니이 엔트로피는 $U(1)$ 게이지 장이 있는 페르미온 표현을 통해 계산되었으며, 이는 보존 표현과 일치하여 일관성을 확인한다.
• 게이지 장의 조화 성분은 비틀린 경계 조건을 가진 페르미온 행렬식으로 기여하며, 이는 $n$에 대해 비해각성이고 필수적인 기여이다.
• 최종 분할 함수에는 영모드 기여를 코딩하는 리만-지젤 쌍곡선 함수 $|\Theta(0|i\Omega)|^2$가 포함되어 있으며, 이는 호모로지 순환에서의 순 $U(1)$ 전하가 없도록 보장한다.
• 결과는 보존 표현의 분할 함수(arXiv:1510.05993의 식 4.32)와 일치하여, 레니이 엔트로피 맥락에서의 보세-페르미온 이중성을 확인한다.
• 정확한 및 코정확한 부분은 스칼라 장처럼 기여하며 $n \to 1$로의 해석적 계속이 가능하지만, 조화 부분은 그렇지 않으며 이는 $n \to 1$ 극한에서의 비비각성의 원인을 설명한다.
• 계산은 보세-페르미온 이중성이 이용 가능한 경우, 연속체 게이지 이론에 대해 확장된 힐베르트 공간 방법이 타당하다는 것을 보여준다.