[논문 리뷰] Rényi Entropy for the $\sun1$ WZW model on the torus

Howard J. Schnitzer|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 20.

Quantum many-body systems참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 온도에서 토러스 위의 $\r{SU}(N)_1$ 웨스-츠ู미노-위튼(WZW) 이론에 대해 n-겹 브랜치드 리만 표면을 사용하여 리니 엔트로피를 계산한다. 복제 기법을 통해 리니 엔트로피를 유도하였으며, 저온 및 간격 크기의 극한에서 보편적인 행동을 보였지만, 리만-시겔 제타 함수의 영향으로 $n\to1$로의 해석적 계속이 실패하여 엔트랑글먼트 엔트로피 추출이 불가능하다.

ABSTRACT

The $\sun1$ WZW model is constructed on a n-sheeted branched torus, which allows the investigation of the Rényi entropy for a single interval at finite temperature. The small and large interval limits, as well as the low temperature expansion are presented for this theory.

연구 동기 및 목표

• 유한 온도에서 토러스 위의 $\r{SU}(N)_1$ WZW 이론에 대한 리니 엔트로피를 계산하는 것.
• 이 모형에서 작은 간격 및 큰 간격 극한, 저온 영역에서 리니 엔트로피의 행동을 조사하는 것.
• 리만-시겔 제타 함수의 영향으로 $n\to1$로의 해석적 계속이 방해받는 이유와 엔트랑글먼트 엔트로피에 대한 영향을 탐색하는 것.
• 향후 보즈-페르미 이중성 및 이 모형에서 리니 엔트로피의 토폴로지적 호로그래픽 이중성을 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• n-겹 브랜치드 토러스 위에 $\r{SU}(N)_1$ WZW 이론을 복제 기법을 사용하여 구성하며, 분할 함수 $Z_n$ 은 n-겹 리만 표면 위에서 정의된다.
• 무게 격자와 카르탕 행렬을 기반으로 한 보손형 수식을 사용하며, 계량 $g_{ij}$ 와 반대칭 텐서 $b_{ij}$ 가 포함된다.
• 고전적 기여와 양자 기여를 분리하여 $Z_n = Z_{n,\text{classical}} Z_{n,\text{quantum}}$ 로 표현하며, $Z_{n,\text{classical}} \propto |\Theta(0|i\Omega)|^2$ 를 만족한다.
• 제타 함수의 점근 전개를 사용하여 리니 엔트로피의 작은 간격 및 큰 간격 극한을 유도한다.
• $\beta$ 를 역온도로 하여 $Z_n$ 의 저온 전개를 $e^{-\pi\beta}$ 의 거듭제곱으로 전개한다.
• 리니 엔트로피를 $S_n = -\frac{1}{n-1}\log\left(\frac{Z_n}{Z_1^n}\right)$ 를 통해 추출하며, 극한에서 주요 기여 항에 집중한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토러스 위의 $\r{SU}(N)_1$ WZW 이론에서 작은 간격 및 큰 간격 극한에서 리니 엔트로피의 행동은 어떠한가?
• RQ2 이 모형에서 저온 영역에서 리니 엔트로피는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 이 이론에서 $n\to1$ 으로의 해석적 계속이 왜 방해받는가? 그로 인한 엔트랑글먼트 엔트로피에 대한 영향은 무엇인가?
• RQ4 리만-시겔 제타 함수는 분할 함수에서 어떤 역할을 하는가? 복제 기법에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 저온 극한에서 $\r{SU}(N)_1$ WZW 이론의 리니 엔트로피는 보편적인 CFT 예측과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 작은 간격 극한에서 리니 엔트로피는 카르디와 허츠로의 보편 CFT 예측과 일치하며, 주요 수정항은 $\propto e^{-\pi\beta}$ 를 따른다.
• 큰 간격 극한에서는 리니 엔트로피가 $S_n \sim \tilde{c}_n - \frac{1}{n-1} \cdot 4n(N-1) \left( \frac{\sin \pi(l/L)}{n \sin(\pi/n)(l/L)} - 1 \right) e^{-\pi\beta} + \cdots$ 로 스케일링된다.
• 저온 전개에서 $Z_n$ 은 진공 섹터에 의해 지배되며, 주요 수정항은 $e^{-\pi\beta}$ 와 $N-1$ 의 의존성에 비례한다.
• 고전적 분할 함수 $Z_{n,\text{classical}}$ 는 $|\Theta(0|i\Omega)|^2$ 에 의존하여 $n\to1$ 으로의 해석적 계속이 불가능하며, 결과적으로 엔트랑글먼트 엔트로피를 추출할 수 없다.
• 리니 엔트로피는 작은 간격 극한에서 보편적인 $\sim \frac{c}{12} n(1 - 1/n^2)$ 스케일링을 보이며, CFT 기대치와 일치한다.
• fermionic 수식과 리니 엔트로피의 보즈-페르미 이중성은 이 논문에서 보손형 수식을 사용하였기 때문에 향후 연구의 열린 문제로 남아 있다.