[논문 리뷰] Random attractors for 2D and 3D stochastic convective Brinkman-Forchheimer equations in some unbounded domains

Kush Kinra, Manil T. Mohan|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 17.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 47인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비정칙 덧셈 노이즈를 가진 비유계 Poincaré 도메인에서 2D 및 3D 스토크스형 Brinkman-Forchheimer 방정식에 대해 무작위 구조물과 불변 측도의 존재를 확립한다. Faedo-Galerkin 근사와 Cameron-Martin 공간 기법을 사용하여 에너지 등식과 점점 수렴하는 성질을 증명하며, $ d=2 $, $ r\in[1,\infty) $ 및 $ d=3 $, $ r\in[3,\infty) $ 에서는 무작위 구조물이 존재함을 보여준다. $ r>3 $ 일 경우 더 강한 노이즈 정규성 조건이 필요하다. 결과는 스토크스 연산자에 대한 수정된 가정을 통해 일반 비유계 도메인으로 확장된다.

ABSTRACT

In this work, we consider the two and three-dimensional stochastic convective Brinkman-Forchheimer (2D and 3D SCBF) equations driven by irregular additive white noise $$\mathrm{d}\boldsymbol{u}-[μΔ\boldsymbol{u}-(\boldsymbol{u}\cdot abla)\boldsymbol{u}-α\boldsymbol{u}-β|\boldsymbol{u}|^{r-1}\boldsymbol{u}- abla p]\mathrm{d} t=\boldsymbol{f}\mathrm{d} t+\mathrm{d}\mathrm{W},\ abla\cdot\boldsymbol{u}=0,$$ for $r\in[1,\infty),$ $μ,α,β>0$ in unbounded domains (like Poincaré domains) $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) where $\mathrm{W}(\cdot)$ is a Hilbert space valued Wiener process on some given filtered probability space, and discuss the asymptotic behavior of its solution. For $d=2$ with $r\in[1,\infty)$ and $d=3$ with $r\in[3,\infty)$ (for $d=r=3$ with $2βμ\geq 1$), we first prove the existence and uniqueness of a weak solution (in the analytic sense) satisfying the energy equality for SCBF equations driven by an irregular additive white noise in Poincaré domains by using a Faedo-Galerkin approximation technique. Since the energy equality for SCBF equations is not immediate, we construct a sequence which converges in Lebesgue and Sobolev spaces simultaneously and it helps us to demonstrate the energy equality. Then, we establish the existence of random attractors for the stochastic flow generated by the SCBF equations. One of the technical difficulties connected with the irregular white noise is overcome with the help of the corresponding Cameron-Martin space (or Reproducing Kernel Hilbert space). Finally, we address the existence of a unique invariant measure for 2D and 3D SCBF equations defined on Poincaré domains (bounded or unbounded). Moreover, we provide a remark on the extension of the above mentioned results to general unbounded domains also.

연구 동기 및 목표

• 비유계 도메인에서 비정칙 덧셈 노이즈를 가진 스토크스형 Brinkman-Forchheimer (SCBF) 방정식의 장기적 행동을 분석한다.
• Faedo-Galerkin 근사 기법을 통해 에너지 등식을 만족하는 약한 해의 존재성과 유일성을 Poincaré 도메인에서 확립한다.
• 차원과 비선형성 지수 $ r $ 에 대한 특정 조건 하에서 SCBF 방정식에 의해 생성된 무작위 흐름에 대해 무작위 구조물의 존재성을 증명한다.
• 2D 및 3D SCBF 방정식에 대해 유일한 불변 측도의 존재성과 그의 정규성, 강한 혼합 성질을 조사한다.
• 스토크스 연산자에 대한 가정을 수정하고 $ (1+\mathrm{A})^{-\delta} $ 를 $ \mathrm{A}^{-\delta} $ 대신 사용하여 결과를 일반 비유계 도메인으로 확장한다.

제안 방법

• 비정칙 노이즈를 가진 SCBF 방정식에 대해 에너지 등식을 증명하기 위해 Lebesgue 및 Sobolev 공간에서 수렴하는 해의 수열을 구성하기 위해 Faedo-Galerkin 근사를 활용한다.
• 덧셈 백색 노이즈의 비정규성을 다루기 위해 Cameron-Martin 공간(재생 핵 힐버트 공간)을 사용한다.
• Itło 미적분학과 Itło 등식을 적용하여 에너지 추정과 $ \mathbb{H} $ 및 $ \mathbb{V} $ 공간에서의 해에 대한 사전 경계를 유도한다.
• 균일한 경계와 수렴 논증을 통해 점점 수렴성을 확립하며, 이는 무작위 구조물 존재성을 증명하는 데 필수적이다.
• Gronwall 부등식을 적용하여 해의 차이에 대한 지수 감쇠 추정을 도출함으로써 경로 유일성과 안정성을 확보한다.
• 스토크스 연산자에 대한 가정을 수정하기 위해 $ \mathrm{A}^{-\delta} $ 를 $ (1+\mathrm{A})^{-\delta} $ 로 대체함으로써 일반 비유계 도메인으로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계 Poincaré 도메인에서 2D 및 3D 스토크스형 Brinkman-Forchheimer 방정식에 대해 무작위 구조물이 존재하기 위한 차원 $ d $ 와 비선형성 지수 $ r $ 에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 표준 정규성의 부재에도 불구하고 비정칙 덧셈 노이즈에 의해 영향을 받는 SCBF 방정식에 대해 에너지 등식을 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ3 $ d=2, r\in(3,\infty) $ 및 $ d=3, r>3 $ 인 경우, 무작위 구조물의 존재를 보장하기 위해 필요한 노이즈의 공간 정규성은 2D 라우레르-뉴턴 방정식의 경우와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 Darcy 계수 $ \alpha>0 $ 가 일반 비유계 도메인 또는 전체 공간으로의 결과 확장을 가능하게 하는가?
• RQ5 유일한 불변 측도가 존재하기 위한 조건는 무엇이며, 이 측도는 정규성과 강한 혼합 성질을 가지는가?

주요 결과

• $ d=2 $, $ r\in[1,\infty) $ 및 $ d=3 $, $ r\in[3,\infty) $, $ r=3 $ 일 때 $ 2\beta\mu\geq 1 $ 이면, Poincaré 도메인에서 SCBF 방정식은 에너지 등식을 만족하는 유일한 약한 해를 가진다.
• 지정된 조건 하에서 $ d=2 $, $ r\in[1,\infty) $ 및 $ d=3 $, $ r\in[3,\infty) $ 에서 점점 수렴성과 흡수 성질을 통해 무작위 구조물의 존재가 증명된다.
• 무작위 구조물에 필요한 노이즈 정규성은 $ d=2 $, $ r\in[1,3] $ 및 $ d=r=3 $, $ 2\beta\mu\geq 1 $ 일 때 2D 라우레르-뉴턴 방정식과 일치하지만, $ r>3 $ 일 경우 더 강한 정규성이 필요하다.
• 2D 및 3D SCBF 방정식에 대해 Poincaré 도메인에서 유일한 불변 측도가 존재하며, 이 측도는 정규성과 강한 혼합 성질을 가진다.
• 스토크스 연산자에 대한 가정에서 $ \mathrm{A}^{-\delta} $ 를 $ (1+\mathrm{A})^{-\delta} $ 로 대체하고 $ \mathbb{V} $ 공간의 노름을 조정함으로써 결과는 일반 비유계 도메인으로 확장될 수 있다.
• 에너지 등식의 증명은 Lebesgue 및 Sobolev 공간에서 동시에 수렴하는 수열을 구성하는 데 의존하며, 이는 비정규성으로 인한 표준 정규성의 부족을 극복한다.