[논문 리뷰] Rational BV-algebra in String Topology

Yves Félix, Jean‐Claude Thomas|ArXiv.org|2007. 05. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1-연결된 닫힌 다양체 $M$에 대해 Hochschild 코hom올로지 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$에 합리적 BV 대수 구조를 수립하며, 계수체가 특성 0인 체일 때 이 구조가 이동된 호몰로지 $H_{\ast+m}(LM)$와 BV 대수로서 동형임을 증명한다. 이 구성은 합리적 호모토피 이론과 Poincaré 쌍대성 모델을 사용하여 스트링 토폴로지의 Chas-Sullivan BV 구조를 Hochschild 코호몰로지로 이전시킨다.

ABSTRACT

Let $M$ be a 1-connected closed manifold and $LM$ be the space of free loops on $M$. In \cite{C-S} M. Chas and D. Sullivan defined a structure of BV-algebra on the singular homology of $LM$, $H_\ast(LM; \bk)$. When the field of coefficients is of characteristic zero, we prove that there exists a BV-algebra structure on $\hH^\ast(C^\ast (M); C^\ast (M))$ which carries the canonical structure of Gerstenhaber algebra. We construct then an isomorphism of BV-algebras between $\hH^\ast (C^\ast (M); C^\ast (M)) $ and the shifted $ H_{\ast+m} (LM; {\bk})$. We also prove that the Chas-Sullivan product and the BV-operator behave well with the Hodge decomposition of $H_\ast (LM) $.

연구 동기 및 목표

• 계수체의 특성이 0일 때 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$에 기저가 되는 Gerstenhaber 대수 구조를 확장하는 BV 대수 구조를 수립하는 것.
• 계수체의 특성이 0일 때 $H_{\ast+m}(LM)$와 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 사이의 BV 대수 동형을 증명하는 것.
• Chas-Sullivan 곱과 BV 연산자가 $H_{\ast}(LM)$의 Hodge 분해와 호환됨을 보이는 것.

제안 방법

• 유한 차원이면서 차수 $m$에서 Poincaré 쌍대성을 만족하는 $C^\ast(M)$와 quasi-isomorphic인 Poincaré 쌍대성 모델 $A$를 사용한다.
• 곱셈 $\mu$로부터의 쌍대성에 의해 정의된 차수 $m$의 사상 $\mu_A: A \to A \otimes A$를 정의하여 미분 및 $A$-양측 모듈러 구조와의 호환성을 확보한다.
• 최소 모델을 사용하여 $\mathbf{C}^\ast(\mathfrak{M}_M; \mathfrak{M}_M) \to (\mathfrak{M}_M \otimes \bigwedge \bar{V}, \bar{d})$의 준동형을 구성함으로써 대수적 구조의 이전을 가능하게 한다.
• 코호몰로지 복합체 $\mathcal{C}^\ast(L; UL^\vee_a)$에 의해 유도되는 필터링 $H^{[p]}_{\ast}(LM)$을 통한 $H_{\ast}(LM)$의 Hodge 분해를 활용하고, 이를 $\mathrm{Tor}^{UL}(\mathbb{K}, \Gamma^p)$와 연결한다.
• Poincaré-Birkhoff-Witt 준동형사상 $\gamma: \bigwedge L \to UL$을 사용하여 $\Gamma^p = \gamma(\bigwedge^p V)$를 식별하고, $H^{[p]}_{\ast}(LM)$을 $\mathrm{Tor}^{UL}(\mathbb{K}, \Gamma^p)$와 연결한다.
• 이so모르피즘에 따라 $H_{\ast+m}(LM)$의 BV 연산자와 곱이 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$의 표준 BV 구조로 대응됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수체의 특성이 0일 때 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$는 기저가 되는 Gerstenhaber 대수 구조를 확장하는 BV 대수 구조를 갖는가?
• RQ2 1-연결된 다양체에 대해 $H_{\ast+m}(LM)$과 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 사이에 BV 대수 동형이 존재하는가?
• RQ3 Chas-Sullivan 곱과 BV 연산자가 필터링 $H^{[p]}_{\ast}(LM)$에 의해 유도되는 Hodge 분해를 존중하는가?

주요 결과

• 계수체의 특성이 0이고 $M$이 1-연결일 때 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$에는 표준적인 BV 대수 구조가 존재한다.
• 이동된 호몰로지 $H_{\ast+m}(LM)$은 BV 대수로서 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$와 동형이다.
• Chas-Sullivan 곱과 BV 연산자는 $H_{\ast}(LM)$의 Hodge 분해 $H^{[p]}_{\ast}(LM)$과 호환되며, 이는 쌍대성 하에 $\mathrm{Tor}^{UL}(\mathbb{K}, \Gamma^p)$에 대응된다.
• $H_{\ast}(LM)$과 $\mathrm{HH}^\ast(C^\ast(M); C^\ast(M))$ 사이의 이so모르피즘이 Hodge 필터링과 호환되며, BV 구조를 유지한다.
• 이 구성은 $C^\ast(M)$의 Poincaré 쌍대성 모델 $A$에 의존하며, 이는 $H_{\ast+m}(LM)$의 BV 구조를 Hochschild 코호몰로지로 이전시키는 데 기여한다.
• 이전의 Gerstenhaber 대수 동형을 전체 BV 대수 수준으로 확장하여 특성 0 체 위에서의 스트링 토폴로지 분야에서 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.